El cálculo del volumen por sólidos de revolución permite determinar capacidades rotando figuras planas alrededor de ejes.
Se aplica en ingeniería y manufactura para diseñar objetos precisos optimizando materiales, espacio y costos.
Calculadora Volumen – Sólidos de Revolución
Tablas de Valores Comunes para Cálculo del Volumen por Sólidos de Revolución
A continuación, se presenta una tabla extensiva con figuras geométricas comunes, los sólidos generados por rotación, los ejes de revolución habituales y sus fórmulas estándar para el cálculo del volumen.
Valores comunes y sus significados
Fórmulas Fundamentales para el Cálculo del Volumen por Sólidos de Revolución
1. Método de los discos (discos sólidos sin huecos)
Este método consiste en imaginar que el sólido se compone de infinitos discos delgados apilados. El volumen se calcula como la suma (integral) de los volúmenes de cada disco.
Variables:
Explicación: Cada disco tiene radio f(x) y un espesor infinitesimal dx. El área del disco es π[f(x)]2, y su volumen es área por espesor.
2. Método de los anillos o arandelas (cuando el sólido tiene hueco)
Se usa cuando el sólido es generado por la rotación de la región entre dos curvas f(x) y g(x), generando un «anillo» o arandela en lugar de un disco sólido.
Variables:
- R(x): Radio externo (mayor).
- r(x): Radio interno (menor o hueco).
- a,b Límites de integración.
3. Método de los cilindros o capas cilíndricas
Para la rotación alrededor del eje y (o un eje vertical), a veces se utiliza el método de capas cilíndricas, donde el sólido se descompone en capas delgadas cilíndricas.
Variables:
4. Volumen de sólidos de revolución definidos por funciones paramétricas
Cuando la curva está dada en forma paramétrica (x(t),y(t)), el volumen generado alrededor del eje x se calcula con:
5. Volumen de sólidos clásicos
Explicación Detallada de Variables y Valores Comunes
Casos Reales Detallados de Aplicación del Cálculo del Volumen por Sólidos de Revolución
Caso 1: Diseño de un tanque cilíndrico con fondo cónico
Problema: Calcular el volumen total de un tanque compuesto por un cilindro de altura hc=10 mh y radio r=3 m, con un fondo cónico invertido de altura hf=2 m
Solución:
- Volumen del cilindro:
- Volumen del cono (fondo):
- Volumen total:
Interpretación: Este cálculo permite estimar la capacidad de almacenamiento, fundamental para ingeniería de procesos, control de inventarios y dimensionamiento de infraestructura.
Ampliación: Métodos Avanzados y Consideraciones Normativas
Cálculo en sólidos con funciones discontinuas o múltiples intervalos
En casos donde la función f(x) cambia de definición en el intervalo [a,b], se divide el cálculo en integrales parciales:
Cada subintervalo se evalúa con la función correspondiente, asegurando precisión.
Normativas y Estándares Técnicos Aplicables
- ISO 9001: Para asegurar calidad en procesos de diseño y fabricación, donde el cálculo de volúmenes es crítico para especificaciones técnicas.
- Normas ASTM: Algunas normas ASTM regulan medición y ensayo dimensional de componentes fabricados por revolución.
- Normas IEC 60034-1: Aplicables en diseño de componentes rotativos eléctricos, donde cálculo de volumen y masa es clave para especificaciones térmicas.