Cálculo del momento torsor: fundamentos y aplicaciones avanzadas

El cálculo del momento torsor es esencial para analizar esfuerzos en estructuras y máquinas. Se refiere a la determinación del momento que genera torsión en un elemento.

Este artículo aborda fórmulas, variables, tablas con valores comunes y ejemplos prácticos para un entendimiento profundo y aplicado.

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Calcular el momento torsor en un eje circular sometido a una fuerza tangencial de 500 N a 0.3 m.
Determinar el momento torsor para un eje de acero con diámetro 50 mm y torque aplicado de 200 Nm.
Ejemplo de cálculo del momento torsor en una viga sometida a torsión con carga excéntrica.
Cómo calcular el momento torsor en un árbol de transmisión con par motor de 150 Nm y longitud 1.2 m.

Valores comunes en el cálculo del momento torsor

Para facilitar el cálculo y diseño, es fundamental conocer los valores típicos de las variables involucradas en el momento torsor. A continuación, se presenta una tabla con valores comunes de materiales, diámetros, fuerzas y momentos que se emplean frecuentemente en ingeniería mecánica y civil.

Material	Módulo de Rigidez G (GPa)	Diámetro común (mm)	Momento torsor típico (Nm)	Resistencia a la torsión (MPa)
Acero estructural	79 – 81	20, 30, 40, 50, 60	50 – 500	250 – 350
Aluminio 6061	25 – 28	15, 25, 35, 45	10 – 150	100 – 150
Hierro fundido	40 – 45	30, 40, 50	30 – 200	150 – 250
Cobre	40 – 45	10, 20, 30	5 – 50	70 – 120
Plástico reforzado	3 – 5	5, 10, 15	1 – 10	30 – 50

Fórmulas fundamentales para el cálculo del momento torsor

El momento torsor, también conocido como torque, es la magnitud que mide la capacidad de una fuerza para producir torsión en un eje o elemento estructural. Se calcula mediante diversas fórmulas que dependen de las características geométricas y materiales del elemento, así como de las fuerzas aplicadas.

Momento torsor básico

La fórmula más elemental para el momento torsor es:

Mt = F × r

M_t: Momento torsor (Nm)
F: Fuerza aplicada tangencialmente (N)
r: Brazo de palanca o radio desde el eje de torsión (m)

Esta fórmula indica que el momento torsor es el producto de la fuerza aplicada y la distancia perpendicular al eje donde se aplica dicha fuerza.

Relación entre esfuerzo cortante y momento torsor

Para un eje circular sometido a torsión, el esfuerzo cortante máximo se calcula con:

τ = Mt × c / J

τ: Esfuerzo cortante máximo (Pa o N/m²)
M_t: Momento torsor aplicado (Nm)
c: Radio externo del eje (m)
J: Momento polar de inercia (m⁴)

El momento polar de inercia para un eje circular macizo es:

J = π × d4 / 32

d: Diámetro del eje (m)

Para un eje hueco, el momento polar de inercia se calcula como:

J = π × (do4 – di4) / 32

d_o: Diámetro exterior (m)
d_i: Diámetro interior (m)

Ángulo de torsión en un eje

El ángulo de torsión (θ) que sufre un eje sometido a un momento torsor se calcula con:

θ = (Mt × L) / (G × J)

θ: Ángulo de torsión (radianes)
M_t: Momento torsor aplicado (Nm)
L: Longitud del eje (m)
G: Módulo de rigidez del material (Pa)
J: Momento polar de inercia (m⁴)

Relación entre torque y potencia en ejes rotativos

En sistemas rotativos, el torque está relacionado con la potencia y la velocidad angular mediante:

Mt = P / ω

M_t: Momento torsor (Nm)
P: Potencia transmitida (W)
ω: Velocidad angular (rad/s)

La velocidad angular se puede calcular a partir de la velocidad en revoluciones por minuto (rpm) con:

ω = 2 × π × n / 60

n: Velocidad en rpm

Ejemplos prácticos y aplicaciones reales del cálculo del momento torsor

El cálculo del momento torsor es fundamental en el diseño y análisis de componentes mecánicos y estructuras sometidas a torsión. A continuación, se presentan dos casos prácticos con desarrollo detallado para ilustrar su aplicación.

Ejemplo 1: Cálculo del momento torsor en un eje de transmisión de acero

Un eje de acero estructural con diámetro de 40 mm transmite un par motor de 250 Nm. Se desea calcular el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de torsión en un tramo de 1.5 m. El módulo de rigidez del acero es 80 GPa.

Diámetro, d = 40 mm = 0.04 m
Momento torsor, M_t = 250 Nm
Longitud, L = 1.5 m
Módulo de rigidez, G = 80 × 10⁹ Pa

Primero, calculamos el momento polar de inercia para un eje macizo:

J = π × d4 / 32 = 3.1416 × (0.04)4 / 32 = 3.1416 × 2.56 × 10-7 / 32 ≈ 2.513 × 10-8 m4

Luego, calculamos el esfuerzo cortante máximo:

τ = Mt × c / J = 250 × 0.02 / 2.513 × 10-8 = 5 / 2.513 × 10-8 ≈ 1.99 × 108 Pa = 199 MPa

Finalmente, calculamos el ángulo de torsión:

θ = (Mt × L) / (G × J) = (250 × 1.5) / (80 × 109 × 2.513 × 10-8) = 375 / 2010.4 ≈ 0.186 rad ≈ 10.66°

Este resultado indica que el eje soporta un esfuerzo cortante máximo de 199 MPa y se torsiona aproximadamente 10.66 grados bajo la carga aplicada.

Ejemplo 2: Momento torsor en una viga sometida a torsión excéntrica

Una viga rectangular de acero con sección 100 mm × 50 mm está sometida a una fuerza tangencial de 1000 N aplicada a 0.2 m del eje neutro. Se desea calcular el momento torsor y el esfuerzo cortante máximo. El módulo de rigidez es 79 GPa.

Fuerza, F = 1000 N
Brazo de palanca, r = 0.2 m
Sección rectangular: base b = 0.1 m, altura h = 0.05 m
Módulo de rigidez, G = 79 × 10⁹ Pa

Primero, calculamos el momento torsor:

Mt = F × r = 1000 × 0.2 = 200 Nm

Para una sección rectangular, el momento polar de inercia aproximado es:

J ≈ (b × h3) / 3 = (0.1 × 0.053) / 3 = (0.1 × 1.25 × 10-4) / 3 = 4.167 × 10-6 m4

Calculamos el esfuerzo cortante máximo:

τ = Mt × c / J = 200 × 0.025 / 4.167 × 10-6 = 5 / 4.167 × 10-6 ≈ 1.2 × 106 Pa = 1.2 MPa

El esfuerzo cortante máximo es de 1.2 MPa, lo que indica que la viga puede soportar la torsión generada por la fuerza aplicada sin riesgo de falla, considerando los límites típicos del acero estructural.

Aspectos normativos y recomendaciones para el cálculo del momento torsor

El cálculo del momento torsor debe realizarse conforme a normativas internacionales y nacionales que garantizan la seguridad y funcionalidad de los elementos estructurales y mecánicos. Entre las normativas más relevantes se encuentran:

ISO 14122: Seguridad de máquinas – Acceso permanente a máquinas.
ASME B31.3: Código para tuberías de proceso, que incluye criterios para esfuerzos por torsión.
UNE-EN 1993-1-1 (Eurocódigo 3): Diseño de estructuras de acero, que contempla esfuerzos torsionales.
API 610: Norma para bombas centrífugas, que incluye especificaciones para ejes y momentos torsor.

Es recomendable siempre verificar los esfuerzos calculados con los límites permisibles de los materiales y considerar factores de seguridad adecuados. Además, el uso de software especializado puede facilitar el análisis de torsión en geometrías complejas.

Herramientas y recursos para el cálculo del momento torsor

Para optimizar el cálculo y diseño, existen diversas herramientas y recursos que pueden ser de gran ayuda:

Engineering Toolbox – Torsión en ejes: Tabla y calculadoras para torsión en ejes cilíndricos.
MatWeb: Base de datos de propiedades de materiales.
Autodesk Fusion 360: Software CAD con simulación de esfuerzos.
ANSYS: Plataforma avanzada para análisis estructural y torsional.

El dominio del cálculo del momento torsor, junto con el uso de estas herramientas, permite diseñar componentes seguros y eficientes en múltiples aplicaciones industriales y de ingeniería.