Convertidor de parámetros S a impedancia (S11, S21): fundamentos y aplicaciones avanzadas

La conversión de parámetros S a impedancia es esencial para el análisis de redes de RF y microondas. Este proceso traduce coeficientes de reflexión y transmisión en valores de impedancia compleja.

En este artículo, exploraremos fórmulas, tablas con valores comunes y casos prácticos detallados para dominar esta conversión crítica en ingeniería. Aprenderás a interpretar S11 y S21 para obtener impedancias precisas.

• Convierte S11 = 0.5∠30° a impedancia con referencia 50 Ω.
• Calcula la impedancia a partir de S21 = 0.8∠-45° en una línea de 75 Ω.
• Determina Z a partir de S11 = -0.3 + j0.4 con Z0 = 50 Ω.
• Transforma parámetros S de un filtro con S11 = 0.1∠90° y S21 = 0.9∠0° a impedancia.

Tablas extensas de valores comunes para conversión de parámetros S a impedancia

Para facilitar la conversión de parámetros S a impedancia, a continuación se presentan tablas con valores típicos de S11 y S21, junto con sus correspondientes impedancias calculadas para una referencia estándar de 50 Ω. Estas tablas son útiles para ingenieros que trabajan en diseño y análisis de redes de RF, facilitando la interpretación rápida de resultados.

Nota: Los valores de impedancia para S21 no se calculan directamente, ya que S21 representa la transmisión y no la reflexión. Sin embargo, en redes específicas, S21 puede relacionarse con parámetros de impedancia mediante modelos de red más complejos.

Fórmulas para convertir parámetros S a impedancia y explicación detallada de variables

La conversión de parámetros S a impedancia se basa en la relación entre el coeficiente de reflexión S11 y la impedancia de carga Z, con referencia a una impedancia característica Z0 (normalmente 50 Ω). La fórmula fundamental es:

Z = Z0 × (1 + S11) / (1 – S11)

donde:

• Z: Impedancia compleja de la carga o red (Ω).
• Z0: Impedancia característica del sistema o línea de transmisión (Ω), típicamente 50 Ω o 75 Ω.
• S11: Parámetro de dispersión que representa el coeficiente de reflexión en la entrada, expresado como número complejo (módulo y ángulo o parte real e imaginaria).

Para entender mejor, S11 se puede expresar en forma rectangular o polar:

• Forma polar: S11 = |S11| ∠ θ
• Forma rectangular: S11 = Re(S11) + j Im(S11)

La fórmula para obtener Z a partir de S11 en forma rectangular es:

Z = Z0 × (1 + Re(S11) + j Im(S11)) / (1 – Re(S11) – j Im(S11))

Para realizar la división de números complejos, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador:

Z = Z0 × [(1 + Re(S11) + j Im(S11)) × (1 – Re(S11) + j Im(S11))] / [(1 – Re(S11))² + (Im(S11))²]

Esto da como resultado la impedancia en forma rectangular (parte real y parte imaginaria), que representa la resistencia y reactancia respectivamente.

Interpretación de variables comunes

• Re(S11): Parte real del coeficiente de reflexión, indica la componente resistiva de la reflexión.
• Im(S11): Parte imaginaria, relacionada con la componente reactiva (inductiva o capacitiva).
• |S11|: Módulo o magnitud del coeficiente de reflexión, varía entre 0 (sin reflexión) y 1 (reflexión total).
• θ: Ángulo de fase del coeficiente de reflexión, determina la naturaleza inductiva o capacitiva de la carga.

Relación entre S21 y parámetros de impedancia

El parámetro S21 representa la transmisión a través de una red y no se convierte directamente en impedancia. Sin embargo, en redes de dos puertos, S21 junto con S11, S12 y S22 permiten calcular matrices de impedancia (Z), admitancia (Y) o transmisión (ABCD). La matriz Z se puede obtener a partir de la matriz S mediante la siguiente fórmula:

Z = Z0 × (I + S) × (I – S)^-1

donde:

• Z: Matriz de impedancia 2×2.
• S: Matriz de parámetros S 2×2.
• I: Matriz identidad 2×2.
• Z0: Matriz diagonal con impedancias características (normalmente 50 Ω en diagonal).

Esta fórmula requiere cálculo matricial y es fundamental para análisis avanzados de redes de RF.

Ejemplos prácticos de conversión de parámetros S a impedancia

Ejemplo 1: Conversión de S11 a impedancia para un dispositivo con referencia 50 Ω

Supongamos que se mide un parámetro S11 con valor 0.5 ∠ 30° en un sistema con impedancia característica Z0 = 50 Ω. Se desea calcular la impedancia compleja Z.

Primero, convertimos S11 a forma rectangular:

Re(S11) = 0.5 × cos(30°) = 0.5 × 0.866 = 0.433

Im(S11) = 0.5 × sin(30°) = 0.5 × 0.5 = 0.25

Aplicamos la fórmula:

Z = 50 × (1 + 0.433 + j0.25) / (1 – 0.433 – j0.25)

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador:

Denominador conjugado: (1 – 0.433 + j0.25) = 0.567 + j0.25

Denominador módulo² = 0.567² + 0.25² = 0.321 + 0.0625 = 0.3835

Numerador × conjugado denominador:

(1 + 0.433 + j0.25)(0.567 + j0.25) = (1.433 + j0.25)(0.567 + j0.25)

Multiplicamos:

= 1.433 × 0.567 + 1.433 × j0.25 + j0.25 × 0.567 + j0.25 × j0.25

= 0.812 + j0.358 + j0.142 – 0.0625

= (0.812 – 0.0625) + j(0.358 + 0.142) = 0.7495 + j0.5

Finalmente:

Z = 50 × (0.7495 + j0.5) / 0.3835 = 50 × (1.955 + j1.304) = 97.75 + j65.2 Ω

Por lo tanto, la impedancia es aproximadamente 97.75 + j65.2 Ω, indicando una carga con resistencia y reactancia inductiva.

Ejemplo 2: Análisis de un filtro con parámetros S11 y S21

Se tiene un filtro con parámetros medidos:

• S11 = 0.1 ∠ 90°
• S21 = 0.9 ∠ 0°
• Referencia Z0 = 50 Ω

El objetivo es determinar la impedancia de entrada y analizar la transmisión.

Convertimos S11 a forma rectangular:

Re(S11) = 0.1 × cos(90°) = 0

Im(S11) = 0.1 × sin(90°) = 0.1

Aplicamos la fórmula para Z:

Z = 50 × (1 + j0.1) / (1 – j0.1)

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador:

Conjugado denominador: 1 + j0.1

Denominador módulo² = 1² + 0.1² = 1.01

Numerador × conjugado denominador:

(1 + j0.1)(1 + j0.1) = 1 + j0.1 + j0.1 + j²0.01 = 1 + j0.2 – 0.01 = 0.99 + j0.2

Impedancia:

Z = 50 × (0.99 + j0.2) / 1.01 = 50 × (0.980 + j0.198) = 49 + j9.9 Ω

La impedancia de entrada es aproximadamente 49 + j9.9 Ω, indicando una ligera reactancia inductiva.

Respecto a S21 = 0.9 ∠ 0°, indica una alta transmisión con baja pérdida, típico en filtros bien diseñados.

Consideraciones adicionales y recomendaciones para la conversión

• La impedancia característica Z0 debe ser conocida y constante para que la conversión sea válida.
• Los parámetros S deben medirse con instrumentos calibrados para evitar errores en la conversión.
• En redes complejas, es recomendable usar software especializado para convertir matrices S completas a matrices Z.
• La interpretación de la impedancia debe considerar la frecuencia de operación, ya que la reactancia varía con frecuencia.
• Para análisis de estabilidad y adaptación, la conversión de S11 a impedancia es fundamental.

Recursos externos para profundizar en parámetros S y conversión a impedancia

• Microwaves101: Scattering Parameters – Explicación detallada de parámetros S.
• Keysight Application Note: S-Parameters and Impedance – Guía técnica oficial.
• RFCafe: Impedance Calculations – Herramientas y fórmulas para cálculo de impedancia.
• Analog Devices: Understanding S-Parameters – Tutorial para ingenieros.