Convertidor binario: fundamentos, fórmulas y aplicaciones prácticas

La conversión binaria es el proceso de transformar números entre sistemas numéricos, fundamental en informática. Este artículo explica cómo convertir números decimales a binarios y viceversa, con fórmulas y ejemplos detallados.

Encontrarás tablas extensas con valores comunes, fórmulas matemáticas claras y casos reales que ilustran la utilidad del convertidor binario en la tecnología actual.

• Convierte el número decimal 156 a binario.
• ¿Cómo transformar el binario 101101 a decimal?
• Explica la fórmula para convertir binario a decimal con ejemplo.
• Aplicación práctica del convertidor binario en redes informáticas.

Tablas extensas de valores comunes en conversión binaria

Para facilitar la comprensión y el uso del convertidor binario, a continuación se presentan tablas con valores decimales y su equivalente en binario, cubriendo desde números pequeños hasta valores más grandes comúnmente utilizados en informática y electrónica digital.

Fórmulas para la conversión binaria y explicación detallada de variables

La conversión entre sistemas numéricos binario y decimal se basa en fórmulas matemáticas que permiten transformar un número de base 10 a base 2 y viceversa. A continuación se presentan las fórmulas fundamentales y la explicación de cada variable involucrada.

Conversión de decimal a binario

Para convertir un número decimal N a binario, se utiliza el método de divisiones sucesivas entre 2, registrando los residuos. Matemáticamente, el número decimal N se puede expresar en binario como:

• N: Número decimal a convertir.
• b_i: Dígito binario en la posición i (0 o 1).
• i: Índice de posición del bit, comenzando desde 0 (bit menos significativo).
• k: Número total de bits menos uno (posición del bit más significativo).

El proceso consiste en dividir N entre 2, obtener el residuo (b₀), luego dividir el cociente entre 2 para obtener b₁, y así sucesivamente hasta que el cociente sea 0. Los residuos concatenados en orden inverso forman el número binario.

Conversión de binario a decimal

Para convertir un número binario B a decimal, se aplica la suma ponderada de cada bit multiplicado por su potencia de 2 correspondiente:

• D: Número decimal resultante.
• b_i: Dígito binario en la posición i (0 o 1).
• i: Índice de posición del bit, comenzando desde 0 (bit menos significativo).
• k: Número total de bits menos uno.

Por ejemplo, para el binario 1011, se calcula:

Conversión de binario fraccionario a decimal

Cuando el número binario incluye una parte fraccionaria, la fórmula se extiende para incluir potencias negativas de 2:

• m: Número de bits en la parte fraccionaria.
• i: Índice que puede ser negativo para la parte fraccionaria (por ejemplo, i = -1, -2, …).

Ejemplo: El binario 110.101 se convierte a decimal como:

Conversión decimal fraccionario a binario

Para convertir la parte fraccionaria decimal a binario, se multiplica la fracción por 2 y se extrae la parte entera repetidamente:

• Sea f la parte fraccionaria decimal (0 ≤ f < 1).
• Multiplicar f × 2.
• El resultado entero es el bit binario.
• Repetir con la nueva fracción (resultado – entero) hasta alcanzar precisión deseada.

Ejemplo: Convertir 0.625 a binario:

• 0.625 × 2 = 1.25 → bit = 1
• 0.25 × 2 = 0.5 → bit = 0
• 0.5 × 2 = 1.0 → bit = 1

Por lo tanto, 0.625 decimal = 0.101 binario.

Ejemplos del mundo real con desarrollo y solución detallada

Ejemplo 1: Conversión de dirección IP a binario para subnetting

En redes informáticas, las direcciones IP se representan en decimal, pero para realizar subnetting es necesario convertirlas a binario. Supongamos la dirección IP 192.168.1.10 y la máscara de subred 255.255.255.0.

Convertimos cada octeto decimal a binario usando la tabla y fórmula:

La dirección IP en binario es:

La máscara de subred 255.255.255.0 en binario es:

Para determinar la red, se realiza una operación AND bit a bit entre la IP y la máscara:

• 11000000 AND 11111111 = 11000000 (192)
• 10101000 AND 11111111 = 10101000 (168)
• 00000001 AND 11111111 = 00000001 (1)
• 00001010 AND 00000000 = 00000000 (0)

Resultado de la red en decimal: 192.168.1.0

Este proceso es fundamental para segmentar redes y administrar direcciones IP eficientemente.

Ejemplo 2: Representación binaria en microcontroladores para control de dispositivos

En sistemas embebidos, los microcontroladores utilizan registros binarios para controlar dispositivos. Supongamos que un registro de 8 bits controla 8 LEDs, donde cada bit representa un LED (1 encendido, 0 apagado).

Si se desea encender los LEDs 1, 3 y 6 (contando desde el bit 0), el valor binario del registro será:

• Bit 0 (LED1): 1
• Bit 1 (LED2): 0
• Bit 2 (LED3): 1
• Bit 3 (LED4): 0
• Bit 4 (LED5): 0
• Bit 5 (LED6): 1
• Bit 6 (LED7): 0
• Bit 7 (LED8): 0

Por lo tanto, el registro es: 00100101

Convertimos a decimal para programar el microcontrolador:

El valor decimal 37 se carga en el registro para encender los LEDs deseados.

Aspectos avanzados y consideraciones técnicas

La conversión binaria no solo es útil para números enteros, sino también para números negativos y números en punto flotante, que requieren representaciones específicas como complemento a dos y IEEE 754 respectivamente.

Representación en complemento a dos

Para representar números negativos en binario, se utiliza el complemento a dos, que permite realizar operaciones aritméticas con números negativos de forma eficiente.

El complemento a dos de un número binario se obtiene invirtiendo todos los bits y sumando 1 al resultado.

Ejemplo: Representar -5 en 8 bits

• 5 en binario: 00000101
• Invertir bits: 11111010
• Sumar 1: 11111011

Por lo tanto, -5 en complemento a dos es 11111011.

Conversión en punto flotante (IEEE 754)

Los números reales se representan en binario usando el estándar IEEE 754, que divide el número en tres partes: signo, exponente y mantisa.

• Signo (S): 1 bit que indica positivo (0) o negativo (1).
• Exponente (E): Bits que representan el exponente con un sesgo.
• Mantisa (M): Bits que representan la fracción normalizada.

La fórmula para calcular el valor decimal es:

Donde Bias es el sesgo del exponente (por ejemplo, 127 para precisión simple de 32 bits).

Este método es esencial para cálculos científicos y gráficos computacionales.

Recursos externos para profundizar en conversión binaria

• Wikipedia: Sistema binario
• TutorialsPoint: Number Systems
• IEEE Xplore: IEEE 754 Floating Point Standard
• Cisco: Subnetting and Binary Conversion