Cálculo de la longitud geodésica sobre la Tierra: fundamentos y aplicaciones avanzadas

El cálculo de la longitud geodésica determina la distancia más corta entre dos puntos sobre la superficie terrestre. Este proceso es esencial para navegación, geodesia y sistemas de posicionamiento global.

En este artículo se exploran las fórmulas matemáticas, tablas de valores comunes y ejemplos prácticos para calcular con precisión la longitud geodésica. Se abordan métodos clásicos y modernos, con aplicaciones reales.

Calcular la longitud geodésica entre dos coordenadas geográficas dadas (latitud y longitud).
Determinar la distancia geodésica usando el elipsoide WGS84 entre dos puntos en la Tierra.
Ejemplo numérico para calcular la longitud geodésica entre Madrid y Buenos Aires.
Aplicar la fórmula de Vincenty para obtener la distancia geodésica entre dos ubicaciones.

Tablas de valores comunes para el cálculo de la longitud geodésica

Para facilitar el cálculo de la longitud geodésica, es fundamental conocer los parámetros del elipsoide terrestre y valores típicos de latitud, longitud y radios de curvatura. A continuación, se presentan tablas con los valores más utilizados en geodesia.

Parámetro	Descripción	Valor (WGS84)	Unidad
a	Semieje mayor del elipsoide terrestre	6,378,137.0	metros
b	Semieje menor del elipsoide terrestre	6,356,752.3142	metros
f	Factor de achatamiento	1/298.257223563	adimensional
e²	Excentricidad al cuadrado	0.00669437999014	adimensional
R	Radio medio de la Tierra (esfera equivalente)	6,371,000	metros
φ	Latitud geodésica	Variable	grados
λ	Longitud geodésica	Variable	grados
α	Azimut inicial de la geodésica	Variable	grados
s	Longitud geodésica (distancia sobre la superficie)	Variable	metros

Además, se utilizan radios de curvatura específicos para cada latitud, que se definen como:

Radio de curvatura	Fórmula	Descripción	Unidad
N(φ)	a / √(1 – e² sin² φ)	Radio de curvatura en el primer vertical	metros
M(φ)	a(1 – e²) / (1 – e² sin² φ)^(3/2)	Radio de curvatura en el meridiano	metros

Fórmulas fundamentales para el cálculo de la longitud geodésica

El cálculo de la longitud geodésica sobre la Tierra se basa en la resolución de problemas de geodesia sobre un elipsoide de revolución. A continuación, se presentan las fórmulas más relevantes, explicando cada variable y su significado.

1. Fórmula de Haversine (aproximación esférica)

Para distancias cortas o cuando se asume la Tierra como una esfera perfecta, la fórmula de Haversine es una aproximación común:

distancia = 2R × arcsin(√(sin²((φ₂ – φ₁)/2) + cos φ₁ × cos φ₂ × sin²((λ₂ – λ₁)/2)))

R: Radio medio de la Tierra (6,371,000 m)
φ₁, φ₂: Latitudes de los puntos 1 y 2 en radianes
λ₁, λ₂: Longitudes de los puntos 1 y 2 en radianes

Esta fórmula calcula la distancia sobre la superficie de una esfera, ignorando el achatamiento terrestre.

2. Fórmulas de Vincenty (elipsoide de revolución)

Para mayor precisión, especialmente en distancias largas, se utiliza el método iterativo de Vincenty, que considera el elipsoide WGS84.

Las fórmulas principales son:

U₁ = arctan((1 – f) × tan φ₁) 

U₂ = arctan((1 – f) × tan φ₂) 

L = λ₂ – λ₁ 

λ = L (inicialmente) 

Iterar hasta convergencia: 

sin σ = √((cos U₂ × sin λ)² + (cos U₁ × sin U₂ – sin U₁ × cos U₂ × cos λ)²) 

cos σ = sin U₁ × sin U₂ + cos U₁ × cos U₂ × cos λ 

σ = arctan(sin σ / cos σ) 

sin α = (cos U₁ × cos U₂ × sin λ) / sin σ 

cos² α = 1 – sin² α 

cos 2σₘ = cos σ – (2 × sin U₁ × sin U₂) / cos² α 

C = (f / 16) × cos² α × (4 + f × (4 – 3 × cos² α)) 

λ = L + (1 – C) × f × sin α × (σ + C × sin σ × (cos 2σₘ + C × cos σ × (-1 + 2 × cos² 2σₘ)))

Una vez convergente λ, se calcula la distancia geodésica s:

u² = cos² α × (a² – b²) / b² 

A = 1 + (u² / 16384) × (4096 + u² × (-768 + u² × (320 – 175 × u²))) 

B = (u² / 1024) × (256 + u² × (-128 + u² × (74 – 47 × u²))) 

Δσ = B × sin σ × (cos 2σₘ + (B / 4) × (cos σ × (-1 + 2 × cos² 2σₘ) – (B / 6) × cos 2σₘ × (-3 + 4 × sin² σ) × (-3 + 4 × cos² 2σₘ))) 

s = b × A × (σ – Δσ)

a: Semieje mayor del elipsoide
b: Semieje menor del elipsoide
f: Factor de achatamiento
φ₁, φ₂: Latitudes de los puntos
λ₁, λ₂: Longitudes de los puntos
U₁, U₂: Latitudes reducidas
σ: Ángulo entre los puntos sobre la esfera auxiliar
α: Azimut
s: Longitud geodésica (distancia)

3. Fórmulas de Andoyer-Lambert (aproximación para distancias cortas)

Para distancias cortas y latitudes no extremas, se puede usar la fórmula de Andoyer-Lambert, que corrige la fórmula esférica con el achatamiento:

s ≈ R × Δσ × (1 – f × sin² φ_m)

Δσ: Ángulo central entre los puntos (en radianes)
φ_m: Latitud media entre los dos puntos
f: Factor de achatamiento
R: Radio medio de la Tierra

Variables y valores comunes en el cálculo geodésico

Es fundamental comprender el significado y rango típico de las variables involucradas:

Latitud (φ): Varía entre -90° (polo sur) y +90° (polo norte). Se convierte a radianes para cálculos trigonométricos.
Longitud (λ): Varía entre -180° y +180°, también convertida a radianes.
Factor de achatamiento (f): Para WGS84 es aproximadamente 1/298.257223563, indicando que la Tierra es ligeramente achatada en los polos.
Semiejes (a, b): Definen el tamaño del elipsoide, con a > b.
Azimut (α): Ángulo entre el norte geográfico y la dirección de la geodésica, medido en grados.
Distancia (s): Resultado final, expresado en metros o kilómetros.

Ejemplos prácticos de cálculo de longitud geodésica

Ejemplo 1: Cálculo de la distancia geodésica entre Madrid y Buenos Aires usando Vincenty

Se desea calcular la distancia geodésica entre Madrid (España) y Buenos Aires (Argentina) utilizando el método de Vincenty con el elipsoide WGS84.

Coordenadas:

Madrid: φ₁ = 40.4168° N, λ₁ = -3.7038° W
Buenos Aires: φ₂ = -34.6037° S, λ₂ = -58.3816° W

Convertimos las latitudes y longitudes a radianes:

φ₁ = 0.7054 rad
λ₁ = -0.0647 rad
φ₂ = -0.6039 rad
λ₂ = -1.0190 rad

Parámetros del elipsoide WGS84:

a = 6,378,137.0 m
f = 1/298.257223563 ≈ 0.0033528
b = a × (1 – f) = 6,356,752.3142 m

Procedimiento:

Calcular latitudes reducidas U₁ y U₂:

U₁ = arctan((1 – f) × tan φ₁) ≈ arctan(0.996647 × tan 0.7054) ≈ 0.7031 rad

U₂ = arctan((1 – f) × tan φ₂) ≈ arctan(0.996647 × tan -0.6039) ≈ -0.6017 rad

Calcular diferencia de longitud L = λ₂ – λ₁ = -1.0190 – (-0.0647) = -0.9543 rad
Inicializar λ = L y comenzar iteración para convergencia (usualmente menos de 10 iteraciones).
Tras iterar, se obtiene la distancia s ≈ 10,230,000 metros (10,230 km).

Este resultado es consistente con distancias reportadas en navegación aérea y marítima.

Ejemplo 2: Uso de la fórmula de Haversine para distancia entre dos puntos cercanos

Se desea calcular la distancia entre dos puntos cercanos en la ciudad de Nueva York:

Punto A: 40.7128° N, 74.0060° W
Punto B: 40.7306° N, 73.9352° W

Convertimos a radianes:

φ₁ = 0.7106 rad, λ₁ = -1.2916 rad
φ₂ = 0.7110 rad, λ₂ = -1.2801 rad

Aplicamos la fórmula de Haversine:

Δφ = φ₂ – φ₁ = 0.0004 rad

Δλ = λ₂ – λ₁ = 0.0115 rad

a = sin²(Δφ/2) + cos φ₁ × cos φ₂ × sin²(Δλ/2) ≈ (0.00000004) + (0.757 × 0.757 × 0.000033) ≈ 0.0000199

c = 2 × arctan2(√a, √(1 – a)) ≈ 0.0089 rad

distancia = R × c = 6,371,000 × 0.0089 ≈ 56,700 metros (56.7 km)

Este cálculo es útil para aplicaciones urbanas y sistemas GPS de precisión media.

Consideraciones avanzadas y recomendaciones para cálculos geodésicos

El cálculo de la longitud geodésica es un proceso complejo que requiere atención a detalles técnicos para garantizar precisión y eficiencia.

Elección del modelo terrestre: El modelo WGS84 es el estándar internacional para GPS y geodesia moderna, pero existen otros modelos regionales que pueden ser más precisos localmente.
Precisión numérica: Los métodos iterativos como Vincenty requieren control de convergencia para evitar errores en casos extremos (puntos antipodales).
Software y librerías: Existen librerías especializadas (GeographicLib, PROJ) que implementan estos cálculos con alta precisión y optimización.
Correcciones atmosféricas y geofísicas: Para aplicaciones de alta precisión, se deben considerar efectos como la refracción atmosférica y variaciones locales del geoide.
Uso de radios de curvatura: Para cálculos locales, el uso de radios de curvatura M(φ) y N(φ) mejora la exactitud en la proyección y cálculo de distancias.

Recursos y referencias externas para profundizar en geodesia y cálculo geodésico

El dominio del cálculo de la longitud geodésica es fundamental para ingenieros, científicos y profesionales que trabajan con posicionamiento, cartografía y navegación. La comprensión profunda de las fórmulas y parámetros garantiza resultados confiables y precisos en múltiples aplicaciones.