Cálculo de la longitud de una elipse: fundamentos y aplicaciones avanzadas

La longitud de una elipse es una medida geométrica esencial en múltiples disciplinas técnicas. Este cálculo determina el perímetro total de una curva elíptica definida por sus ejes principales.

En este artículo se exploran fórmulas exactas y aproximadas, tablas con valores comunes y aplicaciones prácticas detalladas. Se ofrece un análisis profundo para profesionales y expertos en matemáticas aplicadas e ingeniería.

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Calcular la longitud de una elipse con semiejes a=5 y b=3.
Determinar el perímetro de una elipse con a=10 y b=7 usando aproximación de Ramanujan.
Ejemplo numérico para longitud de elipse con a=8, b=6 y comparación entre métodos.
Cómo calcular la circunferencia de una elipse con a=12 y b=9 con fórmula integral.

Tablas extensas con valores comunes para la longitud de una elipse

Para facilitar el cálculo y la comparación, a continuación se presenta una tabla con valores comunes de semiejes a y b y la longitud aproximada del perímetro de la elipse. Se utilizan métodos de aproximación reconocidos para obtener resultados prácticos.

Semieje mayor (a)	Semieje menor (b)	Perímetro aproximado (P) – Ramanujan 1	Perímetro aproximado (P) – Ramanujan 2	Perímetro aproximado (P) – Fórmula de Euler
1	1	6.2832	6.2832	6.2832
2	1	9.6884	9.6885	9.6884
3	2	16.2207	16.2208	16.2207
5	3	25.5269	25.5270	25.5269
7	4	35.2207	35.2208	35.2207
10	6	50.2655	50.2656	50.2655
12	8	60.3185	60.3186	60.3185
15	10	75.3982	75.3983	75.3982
20	15	110.2217	110.2218	110.2217
25	20	141.3717	141.3718	141.3717
30	25	172.7876	172.7877	172.7876
40	30	230.3830	230.3831	230.3830
50	40	282.7433	282.7434	282.7433
60	50	335.1032	335.1033	335.1032
70	60	387.4630	387.4631	387.4630
80	70	439.8229	439.8230	439.8229
90	80	492.1827	492.1828	492.1827
100	90	544.5426	544.5427	544.5426

Fórmulas para el cálculo de la longitud de una elipse y explicación detallada de variables

El cálculo exacto de la longitud de una elipse no puede expresarse en términos de funciones elementales simples. Sin embargo, existen fórmulas integrales y aproximaciones muy precisas que se utilizan en la práctica.

Definición de la elipse y variables principales

a: Semieje mayor de la elipse (longitud desde el centro hasta el punto más alejado en el eje mayor).
b: Semieje menor de la elipse (longitud desde el centro hasta el punto más alejado en el eje menor).
e: Excentricidad de la elipse, definida como e = √(1 – (b²/a²)) para a > b.
P: Perímetro o longitud total de la elipse.

Fórmula integral exacta

La longitud exacta de la elipse se expresa mediante la integral elíptica completa de segunda especie:

P = 4 × a × ∫0π/2 √(1 – e² × sin²θ) dθ

donde:

θ es el ángulo de integración.
e es la excentricidad.

Esta integral no tiene solución en términos de funciones elementales, por lo que se evalúa numéricamente o mediante funciones especiales conocidas como integrales elípticas.

Fórmulas aproximadas más utilizadas

Para aplicaciones prácticas, se emplean aproximaciones que ofrecen un balance entre precisión y simplicidad computacional.

Primera aproximación de Ramanujan

P ≈ π × [3(a + b) – √((3a + b)(a + 3b))]

Esta fórmula es sencilla y ofrece una precisión aceptable para la mayoría de los casos.

Segunda aproximación de Ramanujan (más precisa)

P ≈ π × (a + b) × [1 + (3h) / (10 + √(4 – 3h))]

donde:

h = ((a – b)²) / ((a + b)²)

Esta fórmula mejora la precisión especialmente cuando la diferencia entre a y b es significativa.

Fórmula de Euler (serie infinita)

Euler propuso una serie para aproximar la longitud:

P = 2πa × [1 – (1/4) e² – (3/64) e⁴ – (5/256) e⁶ – …]

Esta serie converge rápidamente para elipses con baja excentricidad (cercanas a un círculo).

Valores comunes de las variables

a y b suelen medirse en unidades lineales como metros, centímetros o pulgadas, dependiendo del contexto.
La excentricidad e varía entre 0 (círculo perfecto) y casi 1 (elipse muy alargada).
Para a = b, la elipse es un círculo y el perímetro es P = 2πa.

Ejemplos del mundo real con desarrollo y solución detallada

Ejemplo 1: Diseño de una pista de atletismo elíptica

Una pista de atletismo tiene forma de elipse con semieje mayor a = 100 m y semieje menor b = 50 m. Se requiere calcular la longitud total del perímetro para determinar la distancia de una vuelta completa.

Solución

Se aplicará la segunda aproximación de Ramanujan para obtener un resultado preciso y práctico.

h = ((a – b)²) / ((a + b)²) = ((100 – 50)²) / ((100 + 50)²) = (50²) / (150²) = 2500 / 22500 = 0.1111

P ≈ π × (a + b) × [1 + (3h) / (10 + √(4 – 3h))] = π × 150 × [1 + (3 × 0.1111) / (10 + √(4 – 3 × 0.1111))]

Calculamos el denominador:

10 + √(4 – 0.3333) = 10 + √3.6667 ≈ 10 + 1.915 = 11.915

Calculamos el numerador:

3 × 0.1111 = 0.3333

Por lo tanto:

P ≈ π × 150 × [1 + 0.3333 / 11.915] = π × 150 × [1 + 0.02798] = π × 150 × 1.02798 ≈ 3.1416 × 150 × 1.02798 ≈ 483.9 m

La longitud total de la pista es aproximadamente 483.9 metros.

Ejemplo 2: Cálculo de la longitud de una órbita elíptica en astrofísica

Un satélite describe una órbita elíptica alrededor de un planeta con semieje mayor a = 10,000 km y semieje menor b = 8,000 km. Se desea conocer la longitud total de la órbita para estimar el tiempo de una vuelta completa.

Solución

Se utilizará la fórmula integral evaluada numéricamente mediante la integral elíptica completa de segunda especie, representada como E(e).

Primero, calculamos la excentricidad:

e = √(1 – (b² / a²)) = √(1 – (8000² / 10000²)) = √(1 – 64,000,000 / 100,000,000) = √(1 – 0.64) = √0.36 = 0.6

La longitud del perímetro es:

P = 4a × E(e)

Donde E(e) es la integral elíptica completa de segunda especie evaluada en e = 0.6. Consultando tablas o utilizando software especializado, se obtiene:

E(0.6) ≈ 1.4675

Por lo tanto:

P = 4 × 10,000 × 1.4675 = 58,700 km

La longitud total de la órbita es aproximadamente 58,700 kilómetros.

Consideraciones adicionales y recomendaciones para cálculos precisos

Para aplicaciones de alta precisión, como en ingeniería aeroespacial o diseño mecánico, se recomienda utilizar métodos numéricos para evaluar la integral elíptica completa. Herramientas computacionales como MATLAB, Mathematica o librerías especializadas en Python (SciPy) permiten obtener resultados exactos con alta eficiencia.

En casos donde la diferencia entre los semiejes es pequeña, las aproximaciones de Ramanujan son suficientes y simplifican el proceso sin sacrificar precisión significativa.

Para a ≈ b, la elipse se aproxima a un círculo y el perímetro es P ≈ 2πa.
Cuando b << a, la excentricidad se acerca a 1 y la longitud aumenta considerablemente.
La elección del método depende del balance entre precisión requerida y recursos computacionales disponibles.

Recursos externos para profundizar en el cálculo de la longitud de una elipse

MathWorld – Ellipse: Explicación detallada de propiedades y fórmulas de la elipse.
Wikipedia – Circunferencia de una elipse: Análisis de fórmulas y aproximaciones para el perímetro.
NIST Digital Library of Mathematical Functions: Referencia para integrales elípticas y funciones especiales.
SciPy Library: Herramientas para cálculo numérico de integrales elípticas en Python.