Calcular la longitud de una cuerda de círculo es fundamental en geometría y aplicaciones técnicas. Este cálculo determina la distancia directa entre dos puntos en la circunferencia.
En este artículo, descubrirás fórmulas precisas, tablas con valores comunes y ejemplos prácticos para dominar este cálculo. Aprenderás a aplicar estos conceptos en situaciones reales y profesionales.
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- Calcular la longitud de una cuerda con radio 10 cm y ángulo central 60°.
- Determinar la cuerda de un círculo con diámetro 20 m y ángulo inscrito 45°.
- Longitud de cuerda para un círculo con radio 15 cm y distancia del centro a la cuerda 9 cm.
- Calcular la cuerda de un círculo con radio 8 m y arco de 90°.
Tablas de valores comunes para la longitud de una cuerda de círculo
Las tablas siguientes muestran valores calculados de la longitud de la cuerda para diferentes radios y ángulos centrales, facilitando referencias rápidas en cálculos técnicos.
| Radio (r) | Ángulo Central (°) | Ángulo Central (rad) | Longitud de la Cuerda (L) |
|---|---|---|---|
| 5 cm | 30° | 0.5236 | 2.59 cm |
| 5 cm | 45° | 0.7854 | 3.83 cm |
| 5 cm | 60° | 1.0472 | 5.00 cm |
| 10 cm | 30° | 0.5236 | 5.18 cm |
| 10 cm | 45° | 0.7854 | 7.66 cm |
| 10 cm | 60° | 1.0472 | 10.00 cm |
| 15 cm | 30° | 0.5236 | 7.77 cm |
| 15 cm | 45° | 0.7854 | 11.49 cm |
| 15 cm | 60° | 1.0472 | 15.00 cm |
| 20 cm | 30° | 0.5236 | 10.36 cm |
| 20 cm | 45° | 0.7854 | 15.32 cm |
| 20 cm | 60° | 1.0472 | 20.00 cm |
Fórmulas para el cálculo de la longitud de una cuerda de círculo
La longitud de una cuerda en un círculo se puede calcular mediante varias fórmulas, dependiendo de los datos disponibles. A continuación, se presentan las fórmulas más utilizadas y la explicación detallada de cada variable.
Fórmula principal basada en el ángulo central
La fórmula más común para calcular la longitud de una cuerda (L) es:
- L: Longitud de la cuerda.
- r: Radio del círculo.
- θ: Ángulo central en radianes, subtendido por la cuerda.
Esta fórmula se basa en la relación trigonométrica del triángulo isósceles formado por dos radios y la cuerda. El ángulo central θ debe estar en radianes para que la función seno sea correcta.
Conversión de grados a radianes
Si el ángulo está dado en grados, se debe convertir a radianes con la fórmula:
Donde π ≈ 3.1416.
Fórmula basada en la distancia desde el centro a la cuerda
Si se conoce la distancia perpendicular (d) desde el centro del círculo a la cuerda, la longitud de la cuerda se calcula como:
- d: Distancia perpendicular desde el centro a la cuerda.
- r: Radio del círculo.
Esta fórmula es útil cuando se mide la distancia desde el centro a la cuerda, en lugar del ángulo.
Relación entre el ángulo central y la distancia al centro
La distancia d también puede expresarse en función del ángulo central θ:
Esto permite calcular d si se conoce el ángulo central y el radio.
Fórmula para el arco y su relación con la cuerda
El arco (s) correspondiente a la cuerda se calcula con:
Donde θ está en radianes. La longitud de la cuerda siempre es menor que la longitud del arco para el mismo ángulo.
Valores comunes y rangos típicos de las variables
- Radio (r): En aplicaciones técnicas, puede variar desde milímetros (componentes mecánicos) hasta metros o kilómetros (ingeniería civil, geografía).
- Ángulo central (θ): Generalmente entre 0° y 180°, ya que para ángulos mayores la cuerda se vuelve el diámetro o se considera la cuerda opuesta.
- Distancia al centro (d): Siempre menor o igual al radio, ya que la cuerda debe estar dentro del círculo.
Ejemplos prácticos del cálculo de la longitud de una cuerda de círculo
Ejemplo 1: Diseño de una estructura circular
Un ingeniero debe calcular la longitud de una cuerda que conecta dos puntos en la circunferencia de una estructura circular con radio 12 metros. El ángulo central entre estos puntos es de 75°.
Datos:
- Radio, r = 12 m
- Ángulo central, θ = 75°
Solución:
Primero, convertir el ángulo a radianes:
Luego, aplicar la fórmula de la cuerda:
Por lo tanto, la longitud de la cuerda es aproximadamente 14.59 metros.
Ejemplo 2: Medición en topografía
Un topógrafo mide la distancia perpendicular desde el centro de un círculo a una cuerda y obtiene 7 metros. El radio del círculo es 10 metros. Se requiere calcular la longitud de la cuerda.
Datos:
- Radio, r = 10 m
- Distancia al centro, d = 7 m
Solución:
Aplicar la fórmula basada en la distancia al centro:
La longitud de la cuerda es aproximadamente 14.28 metros.
Aplicaciones avanzadas y consideraciones técnicas
El cálculo de la longitud de una cuerda de círculo es esencial en múltiples disciplinas:
- Ingeniería civil: Diseño de puentes, arcos y estructuras circulares.
- Topografía: Medición de terrenos y delimitación de áreas circulares.
- Arquitectura: Creación de elementos decorativos y funcionales con geometría circular.
- Robótica y mecánica: Movimiento de brazos articulados y componentes rotativos.
Además, en la fabricación de piezas, la precisión en el cálculo de cuerdas permite optimizar materiales y garantizar la integridad estructural.
Recursos y referencias para profundizar
- Wolfram MathWorld – Circle Chord
- Khan Academy – Geometría de círculos
- Engineering Toolbox – Circle Chord Length
Estos enlaces ofrecen explicaciones adicionales, ejercicios y herramientas interactivas para el cálculo de cuerdas y otros elementos circulares.