Cálculo de la distancia entre dos puntos en el plano

Cálculo de la distancia entre dos puntos en el plano: fundamentos y aplicaciones

El cálculo de la distancia entre dos puntos en el plano es una herramienta esencial en matemáticas y ciencias aplicadas. Permite determinar la separación exacta entre dos ubicaciones en un espacio bidimensional.

Este artículo profundiza en las fórmulas, variables y aplicaciones prácticas del cálculo de distancias, con ejemplos detallados y tablas de valores comunes.

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  • Determinar la distancia entre (0, 0) y (5, 12) en el plano cartesiano.
  • ¿Cuál es la distancia entre los puntos (-2, -3) y (4, 5)?
  • Calcular la distancia entre dos puntos con coordenadas decimales (1.5, 2.3) y (4.8, 6.1).

Tablas de valores comunes para el cálculo de la distancia entre dos puntos

Para facilitar la comprensión y aplicación del cálculo de distancias, a continuación se presenta una tabla con pares de puntos comunes y sus distancias calculadas. Esta tabla es útil para referencia rápida y para validar cálculos manuales o computacionales.

Punto A (x1, y1)Punto B (x2, y2)Distancia (d)
(0, 0)(3, 4)5
(1, 1)(4, 5)5
(2, 3)(7, 7)6.40
(-1, -1)(2, 3)5
(0, 0)(5, 12)13
(3, 4)(6, 8)5
(1.5, 2.5)(4.5, 6.5)5
(-3, -4)(0, 0)5
(2, 2)(2, 5)3
(0, 0)(0, 7)7

Fórmulas para el cálculo de la distancia entre dos puntos en el plano

El cálculo de la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano se basa en la geometría euclidiana. La fórmula fundamental se deriva del teorema de Pitágoras, que relaciona los lados de un triángulo rectángulo.

Fórmula principal de distancia euclidiana

La distancia d entre dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) se calcula con la siguiente fórmula:

d = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2)

Explicación de variables:

  • x1, y1: Coordenadas del primer punto A.
  • x2, y2: Coordenadas del segundo punto B.
  • d: Distancia euclidiana entre los puntos A y B.

Esta fórmula calcula la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las diferencias en las coordenadas x e y, lo que representa la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por las diferencias horizontales y verticales.

Fórmula de distancia Manhattan (distancia en ciudad)

En algunos contextos, como en redes urbanas o sistemas de cuadrícula, se utiliza la distancia Manhattan, que mide la distancia total recorrida en líneas rectas horizontales y verticales:

d = |x2 – x1| + |y2 – y1|

Esta fórmula suma el valor absoluto de las diferencias en x y y, ignorando la diagonal directa.

Fórmula de distancia de Chebyshev

La distancia de Chebyshev se utiliza en contextos donde el movimiento puede ser en cualquier dirección, pero el costo es el máximo desplazamiento en una sola dimensión:

d = max(|x2 – x1|, |y2 – y1|)

Esta métrica es útil en juegos de tablero o robótica para movimientos en cuadrícula.

Fórmula de distancia generalizada (p-norma)

La distancia entre dos puntos también puede definirse mediante la norma p, que generaliza las anteriores:

d = (|x2 – x1|p + |y2 – y1|p)1/p

Donde p es un parámetro que define la métrica: p=1 para Manhattan, p=2 para Euclidiana, y p→∞ para Chebyshev.

Valores comunes y rangos de las variables en el cálculo de distancia

Las coordenadas x e y pueden tomar valores reales, enteros o decimales, dependiendo del sistema de referencia. En aplicaciones prácticas, suelen estar dentro de rangos específicos:

  • Coordenadas cartesianas: Valores reales positivos o negativos, típicamente en rangos de -1000 a 1000 para aplicaciones generales.
  • Coordenadas geográficas proyectadas: Valores en metros o kilómetros, con rangos que dependen del sistema de referencia (por ejemplo, UTM).
  • Coordenadas en píxeles: Valores enteros positivos, típicos en gráficos digitales, con rangos desde 0 hasta el tamaño de la imagen.

La distancia resultante d es siempre un valor no negativo, y su magnitud depende de la escala y unidades de las coordenadas.

Ejemplos prácticos del cálculo de la distancia entre dos puntos en el plano

Ejemplo 1: Distancia entre dos ubicaciones en un mapa urbano

Supongamos que un ingeniero civil necesita calcular la distancia directa entre dos puntos en un plano cartesiano que representan dos intersecciones de calles en una ciudad. Las coordenadas son:

  • Punto A: (150, 200) metros
  • Punto B: (400, 600) metros

Aplicando la fórmula euclidiana:

d = √((400 – 150)2 + (600 – 200)2) = √(2502 + 4002) = √(62,500 + 160,000) = √222,500

Calculando la raíz cuadrada:

d ≈ 471.7 metros

Por lo tanto, la distancia directa entre las dos intersecciones es aproximadamente 471.7 metros.

Ejemplo 2: Distancia entre dos puntos en un plano con coordenadas negativas

En un sistema de coordenadas donde el origen está en el centro, se desea calcular la distancia entre los puntos:

  • Punto A: (-3, -4)
  • Punto B: (1, 2)

Aplicando la fórmula euclidiana:

d = √((1 – (-3))2 + (2 – (-4))2) = √(42 + 62) = √(16 + 36) = √52

Calculando la raíz cuadrada:

d ≈ 7.21 unidades

La distancia entre los puntos A y B es aproximadamente 7.21 unidades en el plano.

Aplicaciones avanzadas y consideraciones técnicas

El cálculo de la distancia entre dos puntos en el plano es fundamental en diversas áreas técnicas y científicas, tales como:

  • Geometría computacional: Para algoritmos de búsqueda, clustering y análisis espacial.
  • Robótica: Para navegación y planificación de trayectorias en entornos bidimensionales.
  • Ingeniería civil y arquitectura: Para diseño y medición de estructuras y terrenos.
  • Sistemas de información geográfica (SIG): Para análisis espacial y modelado geográfico.

Además, en contextos donde las coordenadas representan posiciones geográficas en la superficie terrestre, es necesario considerar la curvatura del planeta y utilizar fórmulas específicas como la distancia geodésica o la fórmula de Haversine, que no se abordan en este artículo centrado en el plano euclidiano.

Recursos y referencias externas para profundizar