Cálculo de entropía: fundamentos y aplicaciones avanzadas

El cálculo de entropía mide la incertidumbre o desorden en sistemas complejos. Es esencial en física, informática y estadística.

Este artículo detalla fórmulas, tablas de valores comunes y casos prácticos para dominar el cálculo de entropía.

Calculadora con inteligencia artificial (IA) para cálculo de entropía

Calcular la entropía de una fuente con probabilidades 0.2, 0.3, 0.5
Determinar la entropía de un sistema con 4 estados equiprobables
Ejemplo de cálculo de entropía en un proceso termodinámico con temperatura y energía
Calcular la entropía de Shannon para un conjunto de datos con probabilidades dadas

Tablas extensas de valores comunes en cálculo de entropía

Distribución de Probabilidades	Valores de Probabilidad (p_i)	Entropía (H) en bits	Entropía (H) en nats
Distribución Binaria Equitativa	0.5, 0.5	1.000	0.693
Distribución Binaria Desigual	0.9, 0.1	0.469	0.325
Distribución Uniforme 3 Estados	0.333, 0.333, 0.333	1.585	1.099
Distribución Uniforme 4 Estados	0.25, 0.25, 0.25, 0.25	2.000	1.386
Distribución Sesgada 3 Estados	0.7, 0.2, 0.1	1.156	0.802
Distribución Uniforme 5 Estados	0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2	2.322	1.609
Distribución Sesgada 5 Estados	0.4, 0.3, 0.15, 0.1, 0.05	1.846	1.280
Distribución Uniforme 8 Estados	0.125 (x8)	3.000	2.079
Distribución Sesgada 8 Estados	0.3, 0.2, 0.15, 0.1, 0.1, 0.05, 0.05, 0.05	2.585	1.791
Distribución Uniforme 16 Estados	0.0625 (x16)	4.000	2.773

Esta tabla muestra valores de entropía para distribuciones de probabilidad comunes, tanto en bits (log base 2) como en nats (log base e).

La entropía máxima se alcanza en distribuciones uniformes, reflejando máxima incertidumbre.

Fórmulas fundamentales para el cálculo de entropía

Entropía de Shannon

La fórmula más utilizada para medir la incertidumbre en una variable aleatoria discreta es la entropía de Shannon:

H = – ∑ p_i log₂(p_i)

donde:

H: Entropía en bits
p_i: Probabilidad del evento i-ésimo
∑: Suma sobre todos los eventos posibles
log₂: Logaritmo en base 2, para medir en bits

La entropía representa la cantidad promedio de información o sorpresa esperada al observar un evento.

Entropía en nats (logaritmo natural)

Cuando se usa el logaritmo natural (base e), la entropía se mide en nats:

H = – ∑ p_i ln(p_i)

Esta unidad es común en física estadística y termodinámica.

Entropía condicional

La entropía condicional mide la incertidumbre de una variable aleatoria Y dado que se conoce X:

H(Y|X) = – ∑_x,y p(x,y) log₂ p(y|x)

p(x,y): Probabilidad conjunta de X y Y
p(y|x): Probabilidad condicional de Y dado X

Es fundamental en teoría de la información para analizar dependencias entre variables.

Entropía cruzada

La entropía cruzada mide la diferencia entre dos distribuciones de probabilidad P y Q:

H(P, Q) = – ∑ p_i log₂(q_i)

p_i: Probabilidad real
q_i: Probabilidad estimada o modelo

Se usa para evaluar modelos predictivos y en aprendizaje automático.

Entropía termodinámica

En termodinámica, la entropía S se relaciona con la cantidad de microestados accesibles:

S = k_B ln(Ω)

S: Entropía termodinámica (J/K)
k_B: Constante de Boltzmann (1.380649×10^-23 J/K)
Ω: Número de microestados accesibles

Esta fórmula conecta la entropía con la mecánica estadística y la física molecular.

Entropía de Gibbs

Generaliza la entropía para sistemas con múltiples estados y probabilidades:

S = – k_B ∑ p_i ln(p_i)

p_i: Probabilidad del estado i
k_B: Constante de Boltzmann

Es la base para el análisis termodinámico de sistemas en equilibrio.

Variables y valores comunes en el cálculo de entropía

p_i: Probabilidad de cada evento, siempre 0 ≤ p_i ≤ 1 y ∑ p_i = 1
H: Entropía, medida en bits o nats, representa incertidumbre promedio
k_B: Constante de Boltzmann, valor fijo en física
Ω: Número de microestados, entero positivo
log: Logaritmo, base 2 para información digital, base e para física

Los valores de p_i determinan la forma de la distribución y la magnitud de la entropía. Distribuciones uniformes maximizan la entropía.

En sistemas físicos, k_B y Ω permiten cuantificar la entropía en términos energéticos y moleculares.

Ejemplos detallados del mundo real sobre cálculo de entropía

Ejemplo 1: Entropía de una fuente de información digital

Supongamos una fuente de información con 3 símbolos posibles: A, B y C, con probabilidades:

p(A) = 0.5
p(B) = 0.3
p(C) = 0.2

Calculemos la entropía de Shannon en bits:

H = – [0.5 log₂(0.5) + 0.3 log₂(0.3) + 0.2 log₂(0.2)]

Calculamos cada término:

0.5 log₂(0.5) = 0.5 × (-1) = -0.5
0.3 log₂(0.3) ≈ 0.3 × (-1.737) = -0.521
0.2 log₂(0.2) ≈ 0.2 × (-2.322) = -0.464

Sumando:

H = – (-0.5 – 0.521 – 0.464) = 1.485 bits

Interpretación: En promedio, cada símbolo transmite 1.485 bits de información.

Ejemplo 2: Entropía termodinámica en un sistema molecular

Consideremos un gas ideal con 10²³ moléculas, donde el número de microestados accesibles es Ω = 10³⁰. Calcule la entropía termodinámica.

Usamos la fórmula:

S = k_B ln(Ω)

Constante de Boltzmann: k_B = 1.380649 × 10^-23 J/K

Calculamos ln(Ω):

ln(10³⁰) = 30 × ln(10) ≈ 30 × 2.302585 = 69.0776

Entonces:

S = 1.380649 × 10^-23 × 69.0776 ≈ 9.54 × 10^-22 J/K

Este valor representa la entropía del sistema, relacionada con su desorden molecular.

Ampliación y detalles adicionales para un dominio experto

El cálculo de entropía no solo se limita a sistemas discretos o termodinámicos, sino que se extiende a múltiples disciplinas:

Teoría de la información: La entropía cuantifica la cantidad mínima de bits necesarios para codificar un mensaje sin pérdida.
Criptografía: La entropía mide la imprevisibilidad de claves y contraseñas, fundamental para seguridad.
Machine Learning: Funciones de entropía cruzada y entropía condicional son esenciales para optimizar modelos probabilísticos.
Física estadística: La entropía conecta microestados con propiedades macroscópicas, explicando fenómenos irreversibles.

Además, existen extensiones como la entropía de Rényi y la entropía de Tsallis, que generalizan la medida para sistemas no extensivos o con correlaciones complejas.

Recursos y referencias externas para profundizar

Estos enlaces ofrecen explicaciones detalladas, ejemplos y aplicaciones avanzadas para complementar el conocimiento técnico aquí presentado.