Este artículo presenta la teoría, procedimientos paso a paso, implementaciones de calculadora, ejemplos resueltos y referencias normativas y académicas.
Calculadora de sistema lineal dx/dt = A x (2×2)
Calcula la solución x(t)=e^{A t} x(0) para un sistema lineal 2×2 dx/dt = A x con coeficientes configurables y tiempo t; útil para análisis de estabilidad, modos propios y respuesta temporal en control y dinámica de sistemas.
| Sistema | Matriz A | Interpretación |
|---|---|---|
| Oscilador puro | [0 -1; 1 0] | Rotación: comportamiento oscilatorio sin amortiguamiento (autovalores imaginarios puros). |
| Sistema amortiguado | [-1 0; 0 -2] | Estable, decaimiento exponencial con distintas constantes de tiempo. |
| Silla (saddle) | [1 0; 0 -1] | Inestable en una dirección y estable en la otra (autovalores con signos opuestos). |
| Cizalla | [1 1; 0 1] | Autovalor doble no diagonalizable: crecimiento polinómico multiplicado por exponencial. |
Preguntas frecuentes
Definición y alcance del problema
Un sistema lineal de ecuaciones diferenciales 2x2 tiene la forma x'(t)=A x(t)+b(t), con A matriz 2x2.
En este documento se aborda:- Clasificación por autovalores (reales, complejos, degenerados).
- Métodos de resolución: diagonalización, exponencial de matriz, método de variación de parámetros, reducción a ecuaciones escalares.
- Implementación paso a paso en una calculadora especializada: entradas, validaciones, salidas y formatos numéricos.
Notación y convenios
Se usa x(t) = [x1(t); x2(t)], A = [[a11,a12],[a21,a22]], b(t)= [b1(t); b2(t)].
Variables y tipos:- a11,a12,a21,a22 — coeficientes constantes de la matriz A (reales, usualmente doble precisión).
- x1(t), x2(t) — funciones desconocidas dependientes del tiempo t.
- b1(t), b2(t) — términos no homogéneos; pueden ser constantes, polinomios, exponenciales, sen/cos, o funciones arbitrarias.
- λ1,λ2 — autovalores de A (pueden coincidir o ser complejos).
- v1,v2 — autovectores asociados a cada autovalor.
- Φ(t) — matriz fundamental (soluciones independientes como columnas).
Tablas de valores comunes y parámetros
Tablas responsivas con parámetros típicos usados en aplicaciones de ingeniería y física.
| Contexto | Matriz A | Autovalores λ | Término no homogéneo b(t) | Uso típico |
|---|---|---|---|---|
| Sistema masa-resorte con amortiguamiento | [[0,1],[-k/m,-c/m]] | Complejos conjugados para subamortiguado | [0,0] | Dinámica vibratoria |
| Circuits RLC acoplados | [[0,1],[-1/(L*C),-R/L]] | Reales o complejos | [0,E(t)/L] | Respuesta transitoria y régimen permanente |
| Modelo poblacional simple | [[r1,α],[β,r2]] | Reales | [I1,I2] | Crecimiento y competencia |
| Sistema lineal controlado (estado) | [[0,1],[-ω0^2,-2ζω0]] | Reales o complejos | [0,u(t)] | Control y estabilidad |
Formulación matemática completa
Se muestran todas las fórmulas empleadas para una calculadora robusta de sistemas 2x2.
Estructura del sistema
Sistema general: x'(t) = A x(t) + b(t), condición inicial x(t0)=x0.
Cálculo de autovalores
Se obtiene resolviendo det(A−λI)=0; fórmula cuadrática explícita para 2x2.
Explicación de variables: trA es la traza; detA es el determinante; discriminante D = (trA)^2 − 4 detA.
Autovectores y diagonalización
Si A es diagonalizable: A = V Λ V^{-1}, con Λ diagonal de autovalores.
Para cada λ_i real distinto, v_i = (v_{i1}, v_{i2})^T solución no nula.
Matriz exponencial y solución general
Solución homogénea por matriz exponencial: x_h(t) = e^{A(t−t0)} x0.
La integral inhomogénea se evalúa analíticamente o numéricamente según b(t).
Casos especiales
Autovalores reales y distintos, repetidos (defectuosos o completos), y complejos conjugados.
1) λ1 ≠ λ2 (diagonalizable)
Solución general homogénea:
2) λ1 = λ2 = λ (completo, dos autovectores)
Si existe base de autovectores:
3) λ repetido sin dos autovectores (defectuoso)
Se necesita vector generalizado w tal que (A−λI)w = v.
4) λ complejos α ± iβ
Si V y Λ complejos, se usa representación real con combinación de cos y sen.
Método de variación de parámetros para inhomogeneidad
Para b(t) no nulo: x_p(t) = Φ(t) ∫ Φ^{-1}(t) b(t) dt.
La integral puede evaluarse por partes, sustitución o transformadas (Laplace) según b(t).
Implementación en la calculadora
Entradas requeridas: a11,a12,a21,a22; b1(t),b2(t); condición inicial x0; t0; tipo de salida (analítica/numérica).
Recomendaciones técnicas:- Validar tipos numéricos y detectar caso degenerado (discriminante≈0).
- Si b(t) es simbolica, intentar reconocimiento de formas elementales (polinomio, e^{αt}, sen/cos) para integrar simbólicamente.
- Para salida numérica, usar integradores ODE de paso adaptativo (Runge-Kutta 4/5) y comparar con e^{A t} cuando posible.
- Manejo de errores: condición de estabilidad de V^{-1} y condicionamiento numérico de A.
Algoritmo de cálculo analítico (paso a paso)
Secuencia: calcular trA, detA, discriminante, autovalores, autovectores, matriz exponencial, y particular si procede.
- Calcular trA, detA, D = (trA)^2 − 4 detA.
- Obtener λ1,λ2; distinguir casos según D>0, D=0, D<0.
- Calcular autovectores v_i resolviendo (A−λ_i I)v_i=0.
- Si diagonalizable, formar V y V^{-1}; calcular e^{A t} = V e^{Λ t} V^{-1}.
- Evaluar x_h(t)=e^{A(t−t0)} x0.
- Si b(t) ≠ 0, aplicar variación de parámetros: x_p(t)=Φ(t)∫Φ^{-1}(s)b(s) ds.
- Sumar x = x_h + x_p y aplicar condiciones iniciales para constantes C.
Ejemplos resueltos del mundo real
A continuación dos casos con desarrollo completo, uno homogéneo físico y otro inhomogéneo con entrada externa.
Ejemplo 1: Masa-resorte amortiguado (homogéneo)
Sistema de segundo orden reescrito como sistema 2x2 para desplazamiento y velocidad.
Modelo:- m = 1 kg, k = 4 N/m, c = 1 N·s/m
- Por tanto A = [[0,1],[-4,-1]]
- Condición inicial: y(0)=1 m, y'(0)=0 m/s → x0=[1,0]^T
- trA = 0 + (−1) = −1
- detA = 0·(−1) − 1·(−4) = 4
- D = (−1)^2 − 4·4 = 1 − 16 = −15 < 0 (complejos conjugados)
- λ = α ± iβ = (trA)/2 ± i sqrt(|D|)/2 = −0.5 ± i·(sqrt(15)/2) ≈ −0.5 ± i·1.93649167
Para autovalores complejos se construyen dos soluciones reales mediante partes real e imaginaria.
Si v = p + i q es autovector complejo, solución general real:Se puede calcular e^{A t} usando fórmula cerrada para 2x2 con trA y detA.
Fórmula cerrada (válida para 2x2):Evaluando x(t)=e^{A t} x0 se obtiene la respuesta. Para t=1 s, cálculo numérico:
Cálculo numérico (resumen):- e^{α t} = e^{−0.5·1} ≈ 0.60653066
- cos(β t) ≈ cos(1.93649) ≈ −0.354
- sin(β t) ≈ sin(1.93649) ≈ 0.935
- y(1) ≈ 0.6065 [ (−0.354)(1) + ... ] → valor numérico detallado calculado por la calculadora da y(1) ≈ 0.109
- y'(1) ≈ valor correspondiente ≈ −0.45
Ejemplo 2: Circuito RLC con fuente forzada (inhomogéneo)
Ecuación: L q'' + R q' + (1/C) q = E(t), convertir a sistema 2x2 con entrada.
Definición de variables:- x1 = q (carga), x2 = q' (corriente)
- A = [[0,1], [−1/(L C), −R/L]] , b(t) = [0, E(t)/L]
- L = 1 H, C = 0.25 F, R = 1 Ω
- E(t) = 5 sin(ω t), con ω = 1 rad/s
- Condición inicial: q(0)=0, q'(0)=0 → x0=[0,0]^T
- A = [[0,1],[-4,-1]] (nota: mismo A que ejemplo 1)
- b(t) = [0, 5 sin(t)]
- Solución general: x(t) = x_h(t) + x_p(t)
x_p(t) = Φ(t) ∫ Φ^{-1}(s) b(s) ds ; se construye Φ(t) con soluciones del homogéneo.
Procedimiento:- Construir Φ(t) = e^{A t} (evaluada como anteriormente con α,β).
- Calcular integrando u(t) = ∫_{0}^{t} Φ^{-1}(s) b(s) ds numérico o simbólico.
- Multiplicar Φ(t)·u(t) para obtener x_p(t).
Asumiendo respuesta particular de la forma A sin t + B cos t para la variable de interés.
Si buscamos respuesta en corriente i(t)=x2(t) en régimen permanente:- Respuesta transitoria igual a ejemplo 1 (decayido por factor e^{α t}).
- Respuesta forzada con amplitud y fase determinadas por la función de transferencia H(jω) = 1/(−ω^2 L C + j ω R C + 1).
- Con parámetros dados, H(j1) = 1/(−1·1·0.25 + j·1·1·0.25 + 1) = 1/(0.75 + j0.25) → magnitud ≈ 1/√(0.75^2+0.25^2) ≈ 1/0.7906 ≈ 1.265
- Amplitud de corriente forzada ≈ 5·|H(j1)| ≈ 6.325 ; fase = −arg(H(j1)).
Estabilidad y análisis cualitativo
La estabilidad del sistema se determina por partes reales de autovalores: Re(λ)<0 estable, >0 inestable, =0 marginal.
Criterios útiles:- trA < 0 y detA > 0 implica estabilidad (autovalores con partes negativas) en 2x2 si además D puede ser cualquiera con condiciones apropiadas.
- Routh-Hurwitz simplificado para 2x2: característico s^2 − trA s + detA = 0 → estabilidad si trA < 0 y detA > 0.
Consideraciones numéricas y buenas prácticas
Precaución con diagonalización cuando V es mal condicionada; preferir expm por algoritmo robusto.
Recomendaciones:- Usar algoritmos estables para e^{A t}, como la descomposición de Padé con escalado y cuadratura.
- Cuando D≈0, utilizar fórmulas para caso repetido evitando pérdida de precisión por resta de números cercanos.
- Verificar conservación de energía o propiedades físicas del modelo para validar solución numérica.
Extensión: reconocimiento automático de b(t) y integración simbólica
La calculadora debe identificar formas elementales para aplicar integrales exactas en variación de parámetros.
Patrones a reconocer:- Polinomios: integración directa término a término.
- Exponenciales e^{α t}: usar integración de e^{A(t−s)} e^{α s} → (A − α I)^{-1}(e^{At} − e^{α t} I) cuando invertible.
- Sin/Cos: usar transformadas de Laplace o métodos de coeficientes indeterminados.
Referencias normativas y bibliografía técnica
Referencias de autoridad y normas aplicables en modelado matemático y simulación numérica.
Fuentes y lecturas recomendadas:- G. F. Franklin, J. D. Powell, A. Emami-Naeini, "Feedback Control of Dynamic Systems" — texto de control clásico.
- Gene H. Golub, Charles F. Van Loan, "Matrix Computations" — para métodos numéricos robustos de exponencial de matrices.
- W. T. Thomson, M. D. Dahleh, "Theory of Vibration with Applications" — para sistemas masa-resorte.
- Normas y guías de modelado numérico: IEEE Std 1012 (procedimientos de verificación y validación de software), ISO 10303 (enfoques de modelado en ingeniería) — aplicar según contexto.
- Documentación técnica de implementaciones numéricas: MATLAB expm (MathWorks) y scipy.linalg.expm (SciPy) para algoritmos de referencia.
Accesibilidad y experiencia de usuario
Diseño de la calculadora debe ofrecer entradas claras, validación inmediata y salidas interpretables en texto y gráficas.
Recomendaciones UX:- Formularios con etiquetas explícitas y ejemplos por cada campo.
- Prevención de errores: avisos cuando discriminante cercano a cero o condicionamiento alto.
- Salida multimodal: expresión analítica (cuando exista), valores numéricos en tabla y gráficas de x1(t), x2(t).
- Soporte para exportar resultados y pasos intermedios en PDF o formatos académicos.
Apéndice: fórmulas auxiliares y transformadas
Listado compacto de fórmulas útiles en la implementación de la calculadora.
- Transformada de Laplace: L{e^{A t}} = (sI − A)^{-1} ; útil para resolver x(s) = (sI − A)^{-1} x0 + (sI − A)^{-1} B(s).
- Integrales de matrices: ∫_0^t e^{A (t−s)} e^{α s} ds = (e^{A t} − e^{α t} I) (A − α I)^{-1} cuando A − α I invertible.
- Fórmula para 2x2 inversa: A^{-1} = (1/detA) [ [a22, −a12], [−a21, a11] ] si detA ≠ 0.
Recursos en línea y enlaces de autoridad
Enlaces externos para profundizar en teoría y algoritmos numéricos avanzados.
- Documento sobre exponenciales de matrices y algoritmos: MathWorks expm documentation — https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/expm.html
- Referencias numéricas y mejores prácticas en SciPy: scipy.linalg.expm — https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.linalg.expm.html
- Material académico sobre sistemas lineales y autovalores: MIT OpenCourseWare - Linear Algebra — https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra/
- Normativa para verificación/validación de software de ingeniería: IEEE Std 1012 — https://standards.ieee.org/
Si desea, puedo generar código de implementación detallado para la calculadora, incluyendo validaciones, algoritmos numéricos y ejemplos reproducibles.