Calculadora de prueba para diferencia de proporciones online: herramienta para comparar proporciones entre dos muestras.
Este artículo explica uso, fórmulas, tablas, ejemplos resueltos y referencias normativas aplicables.
Prueba z para diferencia de proporciones (p1 − p2)
Calcula el estadístico z, p-valor, decisión a nivel α y el intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones muestrales; útil en A/B testing, ensayos clínicos y encuestas para comparar tasas entre dos grupos.
| Concepto | Valor de referencia |
|---|---|
| Niveles usuales de α | 0.05, 0.01, 0.10 |
| z crítico (α=0.05 bilateral) | ≈ 1.96 |
| Regla práctica de validez | n·p̂ ≥ 5 y n·(1−p̂) ≥ 5 en cada grupo para aproximación normal |
| Muestras A/B en web | 100–10.000 por variante, según efecto esperado |
Preguntas frecuentes
Descripción técnica y propósito de la calculadora
La calculadora evalúa si la diferencia observada entre dos proporciones es estadísticamente significativa.
Aplica a pruebas z para proporciones, intervalos de confianza y estimaciones de tamaño de muestra para diferencias de proporciones.
Contextos de aplicación y requisitos previos
Ámbitos típicos: ensayos clínicos, encuestas, control de calidad, pruebas A/B y estudios epidemiológicos.
Requisitos: muestras independientes, datos binarios (éxito/fracaso), y tamaño muestral que satisfaga aproximación normal.
Hipótesis y tipos de pruebas
Hipótesis nula: p1 − p2 = 0. Alternativas: bilateral, unilateral izquierda o derecha.
Seleccione prueba bilateral para detectar diferencias en cualquiera de las direcciones; unilaterales para direccionalidad específica.
Formulación estadística completa
A continuación se presentan todas las fórmulas necesarias para realizar la prueba de diferencia de proporciones, intervalos y tamaño de muestra.
Estimadores de proporciones y diferencia
Proporciones muestrales p̂1 y p̂2, y diferencia p̂d = p̂1 − p̂2.
Variables:
- n1: tamaño de la muestra 1 (número de observaciones)
- n2: tamaño de la muestra 2
- x1: número de éxitos en muestra 1
- x2: número de éxitos en muestra 2
- p̂1 = x1 / n1
- p̂2 = x2 / n2
- p̂d = p̂1 − p̂2
Fórmula: estimadores básicos
p̂1 = x1 ÷ n1
p̂2 = x2 ÷ n2
p̂d = p̂1 − p̂2
Prueba z para diferencia de proporciones (sin pooled)
Cuando se calcula el error estándar usando proporciones separadas:
z = (p̂1 − p̂2) ÷ sqrt( (p̂1(1−p̂1)/n1) + (p̂2(1−p̂2)/n2) )
- p̂1(1−p̂1)/n1: varianza muestral de la proporción 1
- p̂2(1−p̂2)/n2: varianza muestral de la proporción 2
- Interpretación: comparar z con z crítico según alfa y tipo de prueba
Prueba z con pooled (cuando H0: p1 = p2)
Usar pooled cuando la hipótesis nula asume proporciones iguales y muestras independientes.
p̂_pool = (x1 + x2) ÷ (n1 + n2)
z = (p̂1 − p̂2) ÷ sqrt( p̂_pool(1−p̂_pool) (1/n1 + 1/n2) )
- p̂_pool: proporción combinada bajo H0
- 1/n1 + 1/n2: factor de escala por tamaños muestrales
Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones
Intervalo (1−α) para p1 − p2 usando estimadores separados:
IC: (p̂1 − p̂2) ± z_{1−α/2} × sqrt( (p̂1(1−p̂1)/n1) + (p̂2(1−p̂2)/n2) )
Donde z_{1−α/2} es el cuantíl estándar normal (por ejemplo 1.96 para 95%).
Tamaño de muestra para diferencia de proporciones
Cálculo de n1 y n2 para detectar una diferencia mínima d con potencia 1−β y nivel α.
n ≈ [ (z_{1−α/2} √(2 p̄ (1−p̄)) + z_{1−β} √(p1(1−p1)+p2(1−p2)) )² ] ÷ d²
- d = diferencia mínima relevante (p1 − p2)
- p̄: proporción promedio asumida (ejemplo: (p1 + p2)/2)
- Si n1 ≠ n2, aplicar factor de asignación r = n2/n1
Tablas extensas de valores comunes
Se incluyen tablas responsivas con valores críticos z, valores de p para diferencias comunes y tamaños de muestra estimados.
| α | z_{1−α/2} (bilateral) | z_{1−α} (unilateral) | Confianza |
|---|---|---|---|
| 0.10 | 1.645 | 1.2816 | 90% |
| 0.05 | 1.96 | 1.645 | 95% |
| 0.01 | 2.5758 | 2.3263 | 99% |
| 0.001 | 3.2905 | 3.0902 | 99.9% |
Tabla: ejemplos de diferencias observadas y p-valores aproximados para n simétricos grandes.
| p̂1 | p̂2 | n1=n2 | p̂d | z (aprox) | p-valor (bilateral) |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.50 | 0.45 | 1000 | 0.05 | 1.58 | 0.114 |
| 0.20 | 0.15 | 500 | 0.05 | 1.84 | 0.066 |
| 0.10 | 0.06 | 800 | 0.04 | 1.70 | 0.089 |
| 0.30 | 0.20 | 400 | 0.10 | 3.16 | 0.0016 |
Interpretación de resultados y decisiones operativas
Establezca alfa, el tipo de prueba, y verifique supuestos antes de interpretar el p-valor y el IC.
Si p < alfa: rechazar H0; si IC no incluye 0: diferencia significativa. Evaluar significancia práctica además de estadística.
Accesibilidad y diseño responsivo de tablas
Las tablas deben comportarse bien en pantalla pequeña: usar contenedor con desplazamiento horizontal y celdas legibles.
Columnas importantes primero, evitar colores con bajo contraste y mantener texto alternativo en publicaciones web.
Ejemplos del mundo real: caso 1 — ensayo clínico
Contexto: comparación de recuperación entre tratamiento A y tratamiento B en pacientes con infección X.
Datos: n1 = 250, x1 = 175 (p̂1 = 0.70); n2 = 240, x2 = 150 (p̂2 = 0.625).
Desarrollo paso a paso
Calcular proporciones muestrales:
p̂1 = 175 ÷ 250 = 0.70; p̂2 = 150 ÷ 240 = 0.625; diferencia p̂d = 0.075.
Calcular error estándar sin pooled:
SE = sqrt( (0.70×0.30)/250 + (0.625×0.375)/240 ).
Componentes: (0.21)/250 = 0.00084; (0.234375)/240 ≈ 0.00097656; suma ≈ 0.00181656; SE ≈ 0.04262.
Cálculo de z:
z = 0.075 ÷ 0.04262 ≈ 1.760.
p-valor bilateral (aprox): 2×(1 − Φ(1.760)) ≈ 0.0785.
Interpretación: con α = 0.05 no se rechaza H0; la diferencia observada no es estadísticamente significativa al 5%.
Intervalo de confianza 95%
Usar z = 1.96: IC = 0.075 ± 1.96 × 0.04262 ≈ (−0.0086, 0.1586).
Conclusión: IC incluye 0, por lo tanto diferencia no concluyente; considerar potencia y tamaño muestral adicional.
Ejemplo del mundo real: caso 2 — prueba A/B en e-commerce
Contexto: comparar tasa de conversión entre versión control y variante en tienda online.
Datos: n1 = 50,000, x1 = 3,500 (p̂1 = 0.07); n2 = 50,000, x2 = 3,750 (p̂2 = 0.075).
Desarrollo paso a paso
Calcular proporciones y diferencia:
p̂1 = 0.07; p̂2 = 0.075; p̂d = −0.005 (control menor que variante).
Decidir pooled o no: bajo H0 p1 = p2, pooled apropiado para prueba z.
p̂_pool = (3500 + 3750) ÷ (100000) = 7250 ÷ 100000 = 0.0725.
Calcular SE pooled: sqrt( p̂_pool(1−p̂_pool)(1/n1 + 1/n2) ) = sqrt(0.0725×0.9275×(2/50000)).
Cálculo: 0.0725×0.9275 ≈ 0.06725; ×(2/50000)=0.06725×0.00004=0.00000269; SE ≈ 0.001640.
Cálculo z: z = (0.07 − 0.075) ÷ 0.001640 ≈ −3.048.
p-valor bilateral ≈ 0.0023. Con α=0.05, rechazar H0; la variante aumenta significativamente la conversión.
IC 95% (no pooled si interesa): IC = −0.005 ± 1.96×0.00232 (usando SE no pooled ≈0.00232) ≈ (−0.0095, −0.0005).
Interpretación: efecto pequeño pero estadísticamente significativo; evaluar impacto económico y riesgo de muestreo.
Consideraciones prácticas y limitaciones
Verificar independencia entre muestras: cruces o dependencias invalidan la prueba estándar.
La aproximación normal falla para proporciones cercanas a 0 o 1 y tamaños muestrales pequeños; aplicar corrección exacta (prueba exacta de Fisher o método basado en binomial) si corresponde.
Correcciones y alternativas
Continuity correction de Yates puede aplicarse en tablas 2×2 para n pequeños; pruebas exactas adecuadas para conteos bajos.
Modelos alternativos: regresión logística con indicador de grupo, ajuste por covariables y análisis por intención de tratar en ensayos clínicos.
Comprobación de supuestos y diagnósticos
Verifique np̂ ≥ 5 y n(1−p̂) ≥ 5 en cada muestra para validez de la aproximación normal.
Realice análisis de sensibilidad variando p̂ esperadas y nivel α, y calcule poder post-hoc solo con precaución interpretativa.
Buenas prácticas en implementación de la calculadora online
Validación: incluir tests unitarios para cada fórmula, pruebas con casos conocidos y verificación de límites.
UX: entradas claras para x1, n1, x2, n2; selección de alfa y tipo de prueba; mostrar paso a paso y enlaces a recursos externos.
Referencias normativas y recursos de autoridad
Normas y guías relevantes: CONSORT para ensayos clínicos, ISO 2859 para inspección por atributos en calidad, y guías de la OMS para ensayos epidemiológicos.
Recursos adicionales:
- Textos clásicos: "Statistical Methods for Rates and Proportions" (Fleiss, Levin, Paik)
- Guía CONSORT: http://www.consort-statement.org/
- CDC - Principles of Epidemiology: https://www.cdc.gov/csels/dsepd/ss1978/lesson3/section6.html
- ISO 2859 overview: https://www.iso.org/standard/40825.html
Checklist y plantilla para reportes
Incluya: definición de hipótesis, método (pooled/no pooled), alfa, potencia objetivo, cálculos pasos, IC y decisión.
Reporte debe contener tablas de resumen, gráficos de proporciones con barras de error y notas sobre supuestos y limitaciones.
Material complementario y enlaces de interés
Implementaciones y calculadoras validadas: páginas de universidades, herramientas de estadística como R (prop.test, power.prop.test) y packages especializados.
Enlaces útiles:
- R prop.test documentation: https://stat.ethz.ch/R-manual/
- Power and sample size calculators (NIH/biostat): https://biostat.sec.gs/
Ampliación y profundidad técnica
Estimadores robustos: ajustar por diseño del estudio (clustered data) usando errores estándar robustos o métodos de diseño complejo.
Si observaciones agrupadas: aplicar modelos de efectos mixtos o técnicas de bootstrap para estimar precisión de la diferencia de proporciones.
Bootstrap para diferencia de proporciones
Procedimiento resumido: muestreo con reemplazo por grupo, calcular p̂d bootstrap B veces, estimar percentiles para IC.
Ventaja: no requiere aproximación normal; útil para proporciones extremas o muestras dependientes.
Regresión logística y ajuste por covariables
Modelo logit: logit(p) = β0 + β1·G + β2·X + ... donde G es indicador de grupo.
Estimador de interés: exponentes de β1 (odds ratio) o predicción de probabilidades marginales para obtener diferencias ajustadas de proporciones.
Resumen operativo para usuarios de la calculadora
1) Ingresar x1, n1, x2, n2; 2) elegir α y tipo de prueba; 3) seleccionar pooled si H0 lo permite; 4) ejecutar y revisar z, p-valor, IC.
Documentar supuestos y guardar resultados; realizar análisis complementarios (regresión, bootstrap) si hay dudas sobre independencia o tamaño.
Glosario técnico
p̂: proporción muestral. SE: error estándar. IC: intervalo de confianza. H0: hipótesis nula. H1: hipótesis alternativa.
α: nivel de significancia. β: probabilidad de error tipo II. Potencia = 1 − β.
Notas finales operativas
Asegure trazabilidad de cálculos en la herramienta online y ofrezca exportación de resultados en formatos estándar.
Mantener actualizadas las referencias y someter la calculadora a auditoría estadística periódica.