Calculadora rápida: Prueba de rangos con signo de Wilcoxon
Calcula la estadística W y p‑valor (aprox. normal y exacto para n pequeño) para muestras pareadas.
- Media esperada: μ = n(n+1)/4.
- Varianza (con corrección por empates): σ² = n(n+1)(2n+1)/24 − (1/48)·Σ(t·(t²−1)), donde t son tamaños de grupos empatados en |d|.
- Estadístico z ≈ (W+ − μ − 0.5·cc)/σ, con cc = corrección por continuidad (signo según la hipótesis).
- p‑valor aproximado: normal (usando z). Para n ≤ 15 se intenta cálculo exacto enumerando signos.
| n (no-ceros) | Recomendación | Notas |
|---|---|---|
| ≤ 15 | Usar p exacto si es posible | Cálculo exacto por enumeración (si n ≤ 15) |
| 16–30 | Aproximación normal con corrección por empates | Valide supuestos |
| > 30 | Aproximación normal fiable | Corrección por continuidad útil |
Preguntas frecuentes
Descripción técnica y propósito
La prueba de rangos con signo de Wilcoxon evalúa diferencias medianas en pares dependientes sin asumir normalidad.
Se utiliza para comparar dos medidas relacionadas cuando la muestra es pequeña o no se cumple la distribución normal.
Fundamento estadístico de la prueba
La prueba convierte diferencias pareadas en rangos absolutos, asigna signos y calcula la estadística basada en sumas de rangos.
Se compara la estadística con tablas exactas o se aproxima mediante distribución normal para n grande.
Supuestos y condiciones de uso
- Datos pareados e independientes entre pares.
- Las diferencias son medibles en escala ordinal o superior.
- No se exige normalidad, pero la prueba interpreta orden de magnitud.
- Para n pequeño (≤25) se recomiendan tablas exactas; para n grande, aproximación normal.
Estadísticos clave y notación
Daremos notación y definiciones para implementar la calculadora con exactitud reproducible.
Se define n, di, ri, W+, W-, T, z y p, con interpretación práctica y rangos típicos.
Definiciones
- n: número de pares observados (excluyendo diferencias cero).
- di: diferencia observada en el i-ésimo par (valor2 - valor1).
- ri: rango asignado al |di| entre 1 y n (empates reciben promedio de rangos).
- si: signo de di (+1 si di>0, -1 si di<0).
- W+ = suma de ri con si = +1.
- W- = suma de ri con si = -1.
- T = min(W+, W-): estadístico de Wilcoxon tradicionalmente reportado.
- z: estadístico estandarizado para aproximación normal cuando n grande.
- p: valor p asociado (bilateral o unilateral según hipótesis).
Fórmulas completas para la calculadora
Se presentan las fórmulas necesarias para cálculo exacto y aproximado, con explicación de cada variable y valores típicos.
Todas las expresiones se muestran en líneas claras para implementación directa.
Explicación de variables y valores típicos
n: suele variar de 5 a 50 en estudios clínicos; para n≤25 se recomiendan tablas exactas.
Di: diferencias observadas; valores típicos dependen de unidad de medida (p. ej. mmHg, segundos).
ri: rango entre 1 y n; con empates el promedio reduce varianza esperada.
W+, W-: sumas entre 1 y n(n+1)/2; el valor mínimo indica evidencia contra hipótesis nula.
μ_W y σ_W: parámetros de la distribución aproximada; se usan cuando n grande (por ejemplo n>20).
Tablas de valores comunes
Se incluyen tablas responsivas con valores críticos exactos de T para niveles de significancia habituales y n desde 5 hasta 25.
Las tablas son útiles para verificar cálculos sin aproximación normal; adapten al número real de pares tras excluir ceros.
| n | α=0.10 (bilat) | α=0.05 (bilat) | α=0.01 (bilat) | Comentarios |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 0 | 0 | 0 | Valores mínimos; diferencias debidas a sumas de rangos |
| 6 | 2 | 2 | 0 | Uso de tablas exactas recomendado |
| 7 | 3 | 2 | 1 | Valores típicos según texto estadístico |
| 8 | 5 | 3 | 1 | Consulte tablas disponibles en recursos |
| 9 | 8 | 5 | 2 | Valores críticos reportados |
| 10 | 10 | 8 | 5 | Tabla extendida recomendable |
| 11 | 15 | 10 | 6 | Consistencia con fuentes estandarizadas |
| 12 | 17 | 12 | 8 | Use cuando n ≤ 25 |
| 13 | 21 | 16 | 11 | Intervalos críticos |
| 14 | 25 | 20 | 14 | Referencia en manuales |
| 15 | 29 | 24 | 18 | Usar con cuidado si hay empates |
| 16 | 34 | 28 | 22 | Tablas empíricas disponibles |
| 17 | 39 | 33 | 26 | Ver fuentes académicas |
| 18 | 44 | 38 | 31 | Compatibilidad con tablas clásicas |
| 19 | 50 | 44 | 36 | Consulte procedimientos exactos |
| 20 | 56 | 51 | 44 | Transición a aproximación normal comienza |
| 21 | 63 | 57 | 49 | Tabla intermedia |
| 22 | 70 | 64 | 57 | Ver notas sobre empates |
| 23 | 78 | 72 | 62 | Valores referenciales |
| 24 | 86 | 80 | 72 | Cercano a rango máximo n(n+1)/4 |
| 25 | 95 | 89 | 82 | Fin de tabla exacta común |
Método paso a paso para la calculadora
Procedimiento reproducible que cualquier ingeniero estadístico debe implementar para obtener T y p.
Incluye tratamiento de ceros, empates, selección de aproximación y generación de salida interpretada.
- Recolectar pares Xi1 y Xi2; calcular Di = Xi2 − Xi1.
- Eliminar pares con Di = 0; ajustar n.
- Calcular |Di| y ordenar para asignar rangos ri; en empates usar promedio de posiciones.
- Calcular signos si y luego W+ y W-.
- Estadístico T = min(W+, W-); comparar con tabla exacta para n≤25.
- Si n grande, calcular μ_W y σ_W (incorporar empates) y computar z con corrección por continuidad.
- Obtener p según bilateral o unilateral; reportar intervalo de confianza si aplica.
- Interpretar resultado en contexto clínico o experimental, indicando tamaño del efecto si procede.
Casos de uso: ejemplos del mundo real
Presentamos dos estudios de caso con todos los cálculos detallados y decisiones metodológicas explicadas.
Cada ejemplo incluye tratamiento de empates, uso de tabla exacta o aproximación normal según n.
Caso 1: Ensayo clínico crossover pequeño (n=9 pares)
Contexto: Comparación de presión arterial sistólica antes y después de intervención en 9 pacientes.
Datos (systolic antes, después): Pares simulados para ilustrar cálculo completo.
- Parejas: (140,135), (150,148), (130,128), (142,140), (155,150), (138,138), (148,145), (160,155), (135,133)
Paso 1: Calcular Di = después − antes:
Di: -5, -2, -2, -2, -5, 0, -3, -5, -2 (se elimina el par con Di=0)
Paso 2: Excluir ceros → n=8. Valores absolutos |Di|: 5,2,2,2,5,3,5,2
Orden y rangos con empates: valores únicos ordenados 2 (cuatro ocurrencias), 3 (una), 5 (tres).
Rango para 2s: posiciones 1–4 → promedio = 2.5 cada uno. Rango para 3: posición 5 → 5. Rango para 5s: posiciones 6–8 → promedio = 7 cada uno.
Asignación de ri según |Di|: para cada -5 → ri=7; para cada -2 → ri=2.5; para -3 → ri=5.
Signos: todos negativos (Di<0) → si = −1 para todos los pares considerados.
Cálculo W+ = 0; W- = sum(rangos) = (3×7) + (4×2.5) + (1×5) = 21 + 10 + 5 = 36
T = min(W+, W-) = 0
Comparación con tabla para n=8 y α=0.05: valor crítico aproximado = 3 (ver tabla más arriba).
Como T=0 ≤ 3, rechazamos H0 con p<0.05; interpretación: reducción consistente en presión arterial.
Notas: Empates numerosos reducen σ_W; uso de tabla exacta es correcto aquí. Reportar tamaño de efecto y CI si necesario.
Caso 2: Evaluación de tiempo de respuesta en software (n=30 pares)
Contexto: Se mide tiempo de respuesta de una función antes y después de optimización; muestra de 30 ejecuciones pareadas.
Debido a n grande se usa aproximación normal con corrección por continuidad e incluimos ajuste por empates.
Suponga que, tras excluir ceros, n=30; se calcula W+ = 350, W- = 85 → T = 85.
Cálculos: μ_W = n(n+1)/4 = 30×31/4 = 232.5
Para σ_W (sin empates) = sqrt( n(n+1)(2n+1) / 24 ) = sqrt(30×31×61 / 24) ≈ sqrt(57165 /24) ≈ sqrt(2381.875) ≈ 48.80
Si no hay empates significativos, usamos σ_W ≈ 48.80; con corrección por continuidad:
z = (T − 0.5 − μ_W) / σ_W = (85 − 0.5 − 232.5) / 48.80 = (−148) / 48.80 ≈ −3.03
Valor p bilateral ≈ 2×Φ(−3.03) ≈ 2×0.00122 ≈ 0.00244 → rechazo claro de H0.
Interpretación: el tiempo de respuesta tras optimización es significativamente menor o mayor según signo; aquí W+ grande indica direccionalidad.
Consideraciones: si hay empates, calcular Σt_k (t_k^2−1) y restar su contribución en σ_W según fórmula previa.
Profundización técnica y ajustes avanzados
Empates: cuando múltiples |Di| iguales, calcular grupos t_k y ajustar varianza para mantener validez de z.
Si existen muchos ceros o empates, considerar pruebas alternativas (sign test, bootstrap de diferencias) o métodos permutacionales exactos.
Ajuste de varianza por empates: ejemplo de cálculo
Si hay empates con tamaños t1, t2, ..., agregar corrección Σ t_k (t_k^2 − 1) / 48 en σ_W^2 tal como se mostró.
Ejemplo: con un empate de t=4 y otro de t=3 en |Di|, el ajuste es (4(16−1)+3(9−1))/48 = (4×15 + 3×8)/48 = (60+24)/48 = 84/48 = 1.75; restar en varianza base.
Tamaños del efecto y reporting
- Reportar estadístico T, n, W+ y W-, p, y dirección del efecto.
- Calcular r = z / sqrt(N) como estimador de tamaño de efecto no paramétrico.
- Proveer intervalo de confianza para la mediana de las diferencias mediante métodos de Hodges-Lehmann si es relevante.
Implementación práctica en calculadora
Elementos de UX: permitir carga de pares, opción de excluir ceros automáticamente, selección bilateral/unilateral y reporte con explicación.
Validaciones: asegurar n≥5 para resultados confiables y alertar cuando empates >15% de pares pueden afectar aproximación.
Recursos, referencias y normativa aplicable
Fuentes de autoridad y marcos normativos para pruebas estadísticas no paramétricas y reporte de resultados.
Referencias útiles: publicaciones de Wilcoxon y libros de estadística no paramétrica, además de guías de CONSORT para ensayos clínicos.
- Wilcoxon F. "Individual comparisons by ranking methods". Biometrics Bulletin, 1945.
- Hollander M, Wolfe DA. "Nonparametric Statistical Methods". Wiley.
- Conover WJ. "Practical Nonparametric Statistics". Wiley.
- CONSORT 2010 Statement: directrices para reporte de ensayos clínicos (consorcio internacional).
- American Statistical Association (ASA) statements on p-values and statistical significance.
Buenas prácticas y recomendaciones
Siempre inspeccionar distribución de diferencias y presencia de ceros; documentar tratamiento y justificación del método.
Cuando la muestra es pequeña preferir tablas exactas; para n mayor reportar aproximación normal y correcciones aplicadas.
Checklist de verificación para uso profesional
- Verificar independencia entre pares.
- Eliminar y reportar pares con Di = 0.
- Calcular y reportar empates y ajuste de varianza si corresponde.
- Seleccionar tabla exacta o aproximación normal según n y proporción de empates.
- Reportar T, W+, W-, n, z (si aplica), p, y tamaño del efecto r.
- Proveer interpretación en contexto y posibles limitaciones.
Preguntas frecuentes técnicas
¿Cuándo usar la prueba en lugar de la t pareada?
Usar Wilcoxon cuando las diferencias no son normales o la escala es ordinal; t pareada requiere normalidad de diferencias.
Si n grande y diferencias aproximadamente normales, ambas pruebas suelen concordar.
¿Cómo manejar empates y ceros?
Excluir ceros; ajustar varianza por empates mediante Σ t_k (t_k^2−1)/48 y usar tablas exactas si empates numerosos.
Alternativas: bootstrap o pruebas permutacionales exactas para estimaciones más robustas.
Apéndice: recursos en línea recomendados
Enlaces de autoridad para aprendizaje adicional y tablas detalladas: sitios de universidades y manuales estadísticos.
Ejemplos: página de UCLA Statistical Consulting, NIST/SEMATECH handbook, y manuales de R (paquete stats) sobre wilcox.test.
- UCLA Statistical Consulting — Nonparametric methods: https://stats.idre.ucla.edu
- NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods: https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/
- R Documentation — wilcox.test: https://stat.ethz.ch/R-manual/
- CONSORT Statement: http://www.consort-statement.org