Calculadora de multiplicación en base arbitraria – gratis

Calculadora de multiplicación en base arbitraria gratis para operaciones entre cualquier radix, con instrucciones y ejemplos precisos.

Este artículo ofrece fórmulas, tablas responsivas, ejemplos completos y recursos normativos para uso profesional.

Concepto y alcance: ¿qué es una calculadora de multiplicación en base arbitraria?

Una calculadora de multiplicación en base arbitraria permite multiplicar números representados en cualquier sistema posicional con radix b ≥ 2.

Soporta bases enteras comunes (2,8,10,16) y bases no convencionales hasta b = 36 típicamente, usando dígitos alfanuméricos.

Fundamentos matemáticos

La multiplicación en base b se basa en la descomposición posicional y la suma de productos ponderados por potencias de la base.

Cada dígito representa coeficientes en el anillo Z con módulo superior, y las operaciones siguen aritmética entera con acarreo adecuado.

Notación y convención

Numeraremos posiciones desde 0 (menos significativa) hacia la izquierda. Un número N en base b con dígitos dn…d0 se interpreta como Σ di·b^i.

Dígitos mayores a 9 se expresan A=10, B=11,... hasta Z=35 para soportar hasta base 36.

Tabla de valores comunes por base

A continuación se presentan tablas de multiplicación para bases frecuentes con formatos responsivos aptos para dispositivos móviles y escritorio.

Las tablas muestran productos de dígitos simples y ejemplos de multiplicación entre números cortos en cada base.

Fórmulas y algoritmos esenciales

La multiplicación en base b se puede definir por descomposición posicional y algoritmos de producto acumulativo con acarreo.

A continuación se muestran las fórmulas implementables con elementos visuales de texto y explicación de variables.

Fórmula posicional (producto y suma ponderada)

Si A = Σ_{i=0}^{m} a_i·b^i y B = Σ_{j=0}^{n} b_j·b^j entonces:

Producto C = A·B = Σ_{k=0}^{m+n} c_k·b^k donde c_k = Σ_{i=0}^{k} a_i·b_{k-i} + carry_k

Variables:

• a_i: dígito i de A, 0 ≤ a_i ≤ b-1.
• b_j: dígito j de B, 0 ≤ b_j ≤ b-1.
• b: base o radix, entero ≥ 2 (ej. 2,8,10,16).
• m,n: índices máximos de A y B respectivamente.
• c_k: dígito resultante en posición k antes de reducción por carry.
• carry_k: acarreo trasladado desde c_{k-1} dividido por b.

Descripción de valores típicos: para base 10, a_i∈[0,9]; para base 16, a_i∈[0,15] representados como 0–F.

Algoritmo clásico de multiplicación por columnas

Para cada dígito b_j de B multiplicar A·b_j y desplazar j posiciones (equivalente a multiplicar por b^j), luego sumar partials con acarreo.

Expresión iterativa: partial_j(i) = a_i·b_j, luego acumulado c_{i+j} += partial_j(i), normalizar c_k = c_k mod b, carry_{k+1} = floor(c_k / b).

Normalización y acarreo

Tras acumular productos parciales, cada posición debe normalizarse: digit_k = c_k mod b; carry_{k+1} = floor(c_k / b).

Al final, continuar propagando carry hasta que no queden valores ≥ b en posiciones superiores.

Conversión entre bases para verificación

Para verificar, convertir A y B a decimal (o a un tipo entero arbitrario) usando A_dec = Σ a_i·b^i y realizar multiplicación nativa, luego convertir el resultado a base b.

Esta conversión es útil para tests unitarios y validación en implementaciones de software.

Implementación paso a paso (pseudoestructura clara)

1) Validar entrada: verificar caracteres válidos y rango de dígitos en la base seleccionada.

2) Transformar a arrays de enteros con índices desde la posición 0 (LSB) a m (MSB).

3) Inicializar array resultante de longitud m+n+1 en cero.

4) Para j=0..n: para i=0..m: result[i+j] += a[i]*b[j]; aplicar normalización de acarreo tras cada j o al final.

5) Recortar ceros más significativos y mapear dígitos ≥10 a caracteres alfanuméricos si aplica.

6) Salida: representar en formato string con la base indicada y proporcionar desglose de pasos si se requiere.

Ejemplos del mundo real

Los ejemplos muestran cálculo completo y verificación para bases binarias y hexadecimales, con desarrollo paso a paso.

Cada ejemplo incluye conversión a decimal para verificar exactitud y acarreo detallado por posición.

Ejemplo 1: Multiplicación en base 2 (binario)

Operación: A = 1101₂ (13 decimal) × B = 1011₂ (11 decimal).

Objetivo: calcular producto en base 2 y verificar con decimal.

Desarrollo:

1. Representación posicional (LSB a la derecha): A digits: [1,0,1,1] (d0=1,d1=0,d2=1,d3=1).
2. B digits: [1,1,0,1] (d0=1,d1=1,d2=0,d3=1).
3. Inicializar result[0..6] = [0,0,0,0,0,0,0].
4. Multiplicar por b0=1: añadir A desplazado 0 → result += [1,0,1,1,0,0,0] => [1,0,1,1,0,0,0].
5. Multiplicar por b1=1: añadir A desplazado 1 → sumar [0,1,0,1,1,0,0] => result=[1,1,1,0,1,0,0].
6. Multiplicar por b2=0: añadir ceros (sin cambio).
7. Multiplicar por b3=1: añadir A desplazado 3 → sumar [0,0,0,1,0,1,1] => result=[1,1,1,1,1,1,1].
8. Ahora normalizar por base 2: todos los dígitos ya son 0 o 1, no hay acarreo pendiente.
9. Resultado binario: 1111111₂.

Verificación decimal: 13×11=143 decimal; convertir 1111111₂ = 1·2^6+...+1·2^0 = 127? (revisar)

Corrección: revisar los pasos: el array inicial A digits correctos son A=1101 → [1,0,1,1] (LSB→MSB). Al sumar parciales:

• Partial0: 1101 -> positions 0..3 → [1,0,1,1,0,0,0]
• Partial1 (shift1): 1101 -> [0,1,0,1,1,0,0]
• Partial3 (shift3): 1101 -> [0,0,0,1,0,1,1]

Sum total posicional: [1,1,1,1,1,1,1] = 127 decimal — esto indica error en interpretación porque 13×11=143; origen: dígitos de A o B invertidos.

Recalculo correcto (A=1101₂=13, B=1011₂=11): usar A digits [1,0,1,1], B digits [1,1,0,1] (como antes). Recalcular sumas con acarreo:

1. Partial0 (b0=1): add A -> [1,0,1,1,0,0,0]
2. Partial1 (b1=1): add A<<1 -> [0,1,0,1,1,0,0] => sum1=[1,1,1,0,1,0,0]
3. Partial2 (b2=0): no cambio.
4. Partial3 (b3=1): add A<<3 -> [0,0,0,1,0,1,1] => pre-normal=[1,1,1,1,1,1,1]
5. Con base 2, cada posición debe reducirse por acarreo: pos0=1 ok; pos1=1 ok; pos2=1 ok; pos3=1 ok; pos4=1 ok; pos5=1 ok; pos6=1 ok.

Conclusión: el producto aritmético obtenido 1111111₂ = 127 decimal difiere; la causa: la multiplicación binaria manual omitió un dígito de A. Correcta A=1101 (13) y B=1011 (11) el resultado debe ser 10001111₂ (143 decimal).

Corrección final con método posicional formal:

1. Expresar A = 1·2^3+1·2^2+0·2^1+1·2^0 = 8+4+0+1=13.
2. Expresar B = 1·2^3+0·2^2+1·2^1+1·2^0 = 8+0+2+1=11.
3. 13×11=143 decimal. Convertir 143 a binario: 143/2=71 r1; 71/2=35 r1; 35/2=17 r1; 17/2=8 r1; 8/2=4 r0; 4/2=2 r0; 2/2=1 r0; 1/2=0 r1 → bits LSB→MSB: 11100011 → invertido MSB→LSB: 10001111? comprobar.
4. 143 decimal en binario es 10001111₂ (128+8+4+2+1=143).

Producto correcto: 10001111₂. Los pasos demostraron la importancia de verificar patrones y conversiones.

Ejemplo 2: Multiplicación en base 16 (hexadecimal)

Operación: A = 1A₁₆ (26 decimal) × B = B₁₆ (11 decimal).

Resultado esperado decimal: 26×11=286 decimal → en hexadecimal 11E.

Desarrollo paso a paso:

1. Convertir dígitos: A = [A(10),1] en orden MSB→LSB; como array LSB first: [10,1].
2. B = [11].
3. Inicializar result length 2+1 = 3: [0,0,0].
4. Multiplicar b0=11: for i=0..1: result[i] += a[i]*11 → i=0: result[0]+=10*11=110; i=1: result[1]+=1*11=11 → result=[110,11,0].
5. Ahora normalizar en base 16: pos0 digit = 110 mod 16 = 110 - 16*6 = 110 -96 =14 → E; carry = floor(110/16)=6.
6. Agregar carry al pos1: result[1]+=6 → result[1]=11+6=17. Normalizar pos1: 17 mod 16 =1 → digit 1; carry=floor(17/16)=1.
7. Agregar carry al pos2: result[2]+=1 → result[2]=1 → digit 1 (no carry adicional).
8. Resultado digits LSB→MSB: [E,1,1] → representado MSB→LSB: 11E₁₆.

Verificación decimal: 11E₁₆ = 1·16^2 + 1·16^1 + 14·16^0 = 256 + 16 + 14 = 286 decimal, coincide con 26×11.

Consideraciones prácticas para implementaciones modernas

Precisión: use enteros de tamaño arbitrario (big integers) para evitar overflow en bases altas y operandos largos.

Validación de entrada: normalice mayúsculas/minúsculas, trim de espacios, y control de prefijos (ej. 0x para hex) según interfaz.

Optimización de rendimiento

Para operandos muy largos usar algoritmos de multiplicación avanzados: Karatsuba, Toom-Cook, o FFT (Schönhage–Strassen) cuando la longitud excede umbrales.

Estos algoritmos trabajan con representaciones internas en base 2^k para eficiencia y requieren manejo cuidadoso de carries entre bloques.

Manejo de bases no enteras o fraccionarias

Si se requiere soporte para radices no enteros o fracciones posicionales, la representación posicional y el acarreo deben adaptarse, normalmente usando aritmética de punto fijo o racional.

En la práctica, la mayoría de calculadoras admiten solo bases enteras ≥2; extensiones a bases no enteras son raras y necesitan teoría adicional.

Accesibilidad y experiencia de usuario

Interfaz: entrada clara de base, validación inmediata, visor de pasos, y opción de ver verificación decimal. Etiquetas ARIA y soporte teclado son recomendables.

Tablas responsivas presentes en este documento permiten inspección en móviles; los desarrolladores deben mantener contraste y tamaño de fuente legible.

Referencias y recursos normativos

Material de referencia útil para implementación y verificación:

• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms — secciones sobre aritmética de enteros y algoritmos de multiplicación.
• ISO/IEC 18004:2015 para codificaciones y estándares relacionados con representación de datos (contextual para sistemas que requieren interoperabilidad).
• RFC 4648 sobre base64 y codificaciones similares — útil para entender mapeos alfanuméricos en distintas bases.
• Documentación de BigInt en especificaciones de lenguajes (por ejemplo, ECMA‑262 para JavaScript BigInt) para implementaciones en entornos web.

Enlaces de autoridad: Knuth (publishers), ISO (https://www.iso.org), IETF (https://www.ietf.org) y ECMA (https://www.ecma-international.org).

Pruebas, casos de borde y validaciones

Pruebas unitarias deben cubrir: operandos nulos, ceros, bases mínimas y máximas, dígitos inválidos, números largos y propagación de acarreo extremo.

Casos extremos: multiplicación por 0, multiplicación por la base-1 (todos dígitos = b-1), y cadenas con prefijos o separadores.

Lista de verificación para QA

• Validación sintáctica de entrada por base.
• Conversión interna a arrays correctos (LSB-first).
• Normalización y propagación de carry verificada con ejemplos conocidos.
• Pruebas de rendimiento para operandos largos y selección automática de algoritmo (clásico vs Karatsuba).
• Pruebas de interfaz accesible y legible en móviles y escritorio.

Si se desea, puedo generar código de referencia para una calculadora CLI o web, especificaciones de API REST para el servicio de multiplicación, o plantillas de pruebas unitarias en el lenguaje que usted prefiera.