Calculadora de integración numérica: Regla de Simpson 3/8
Calcula una aproximación numérica de la integral definida ∫_a^b f(x) dx usando la regla de Simpson 3/8 (requiere que el número de subintervalos n sea múltiplo de 3). Útil para integrales sin primitiva elemental o cuando solo se dispone de valores discretos.
- f(x): función a integrar (entrada del usuario).
- a, b: límites de integración.
- n: número de subintervalos (entero, múltiplo de 3).
- h: ancho de subintervalo = (b-a)/n.
Valores típicos / Referencias
| Función | Intervalo ejemplo | Integral exacta (referencia) |
|---|---|---|
| sin(x) | [0, π] | 2 |
| cos(x) | [0, π/2] | 1 |
| exp(x) | [0,1] | e − 1 ≈ 1.71828 |
| 1/(1+x^2) | [0,1] | arctan(1) − arctan(0) = π/4 ≈ 0.7854 |
Preguntas frecuentes
Descripción técnica del método Simpson 3/8
El método de Simpson 3/8 es una regla de integración numérica basada en polinomios cúbicos por subintervalos uniformes.
Se aplica a integrales definidas cuando la función es continua y derivable varias veces; proporciona orden de error O(h^4).
Fundamento matemático y condiciones de uso
Se partitiona el intervalo [a,b] en n subintervalos de largo h; n debe ser múltiplo de 3 para Simpson 3/8.
La regla aproxima la integral por suma ponderada de valores de la función en nodos equiespaciados usando splines cúbicos locales.
Fórmulas completas del método Simpson 3/8
A continuación se presentan las fórmulas esenciales y derivadas para implementar el método con detalle de cada variable y valores típicos.
Las expresiones usan etiquetas y formato textual para garantizar compatibilidad y claridad en implementaciones web y de software.
Fórmula básica de Simpson 3/8
Integral aproximada I ≈ (3h/8) [f(x0) + 3 f(x1) + 3 f(x2) + 2 f(x3) + 3 f(x4) + 3 f(x5) + 2 f(x6) + ... + f(xn)].
Donde los factores siguen el patrón: extremos coeficiente 1, cada tercer interior coeficiente 2, otros interiores coeficiente 3.
Notación y explicación de variables
a: límite inferior de integración. Valor típico: 0, -1, 1; depende del problema.
b: límite superior de integración. Valor típico: π, 1, 2; depende del problema.
n: número de subintervalos, debe ser múltiplo de 3 (n = 3m). Valores típicos: 3, 6, 12, 30, 300 según precisión requerida.
h: paso h = (b - a) / n. Valor típico: h pequeño como 0.01–0.001 para alta precisión en funciones suaves.
xi: nodo i, xi = a + i*h, para i = 0..n.
f(xi): evaluación de la función integrando en el nodo xi.
I: aproximación numérica de la integral definida ∫_a^b f(x) dx.
Fórmula expandida y algoritmo puntual
Sea n = 3m. Calcule h = (b-a)/n. Evaluar f en xi = a + i*h, i=0..n. Sumar S = f(x0)+f(xn)+ Σ_{i=1..n-1} c_i f(xi) con c_i = 3 si i mod 3 ≠ 0, c_i = 2 si i mod 3 = 0. Multiplicar I ≈ (3h/8) * S.
El error local por panel es proporcional a h^5 f^{(4)}(ξ)/80; el error global es O(h^4) con constante dependiente de derivadas cuarta.
Explicaciones adicionales y variantes
Si n no es múltiplo de 3, combinar reglas: usar Simpson 1/3 para los últimos 1 o 2 paneles o adaptar subdivisión para cumplir n=3m.
En implementaciones adaptativas, estimar error local comparando refinamiento por factor 2 y ajustar h dinámicamente.
Tablas de referencia de uso común
Tablas con valores típicos de h, n, estimaciones de error y coeficientes de sumarización para diferentes intervalos y funciones estándar.
Son responsivas y diseñadas para visualizar correctamente en escritorio y móviles.
| Función f(x) | Intervalo [a,b] | n (múltiplo 3) | h | Estimación error O(h^4) | Comentario |
|---|---|---|---|---|---|
| sin(x) | 0, π | 3, 6, 12 | π/3, π/6, π/12 | ~C*h^4, C≈0.005 | Alta precisión con n≥12 |
| e^x | 0,1 | 3, 6, 9 | 1/3, 1/6, 1/9 | ~C*h^4, C≈0.02 | Funciones analíticas bien tratadas |
| 1/(1+x^2) | 0,1 | 3, 30, 300 | 1/3, 1/30, 1/300 | Disminuye con h^4 | Buena para integrables suaves |
| x^4 | 0,2 | 3,6,12 | 2/3,1/3,1/6 | Exacta para polinomios ≤3 grado; error mayor para grado 4 | No exacta; use refinamiento |
| n | Patrón de coeficientes (inicio...fin) | Número de términos 3 | Uso recomendado |
|---|---|---|---|
| 3 | 1,3,3,1 | 1 panel | Pruebas rápidas, baja precisión |
| 6 | 1,3,3,2,3,3,1 | 2 paneles | Uso general |
| 12 | 1,3,3,2,3,3,2,3,3,2,3,3,1 | 4 paneles | Precisión media-alta |
Implementación algorítmica paso a paso
Se describe pseudocódigo y consideraciones numéricas para una calculadora online robusta y estable.
Incluir manejo de errores, validaciones de entrada, y consideraciones de precisión en coma flotante.
Pseudocódigo funcional
1) Validar a, b, f(x). 2) Seleccionar n múltiplo de 3. 3) Calcular h=(b-a)/n. 4) Evaluar f en nodos xi. 5) Aplicar patrón de coeficientes y sumar. 6) Multiplicar por 3h/8.
Optimización: almacenar evaluaciones y usar paralelismo para muchas evaluaciones de f en servidores con múltiples núcleos.
Consideraciones de estabilidad y precisión
Evitar cancelaciones cuando f es oscilatoria; aumentar n o usar técnicas de integración oscilatoria cuando convenga.
Para funciones con singularidades interiores, dividir el intervalo y aplicar integración en subintervalos sin singularidad.
Ejemplos del mundo real — Caso 1: Energía almacenada en una bobina
Problema: calcular la energía U = (1/2) ∫_0^L L(x) I(x)^2 dx con inductancia distribuida L(x) y corriente I(x).
Se dispone de modelos L(x)=L0 (1+α x/L) y I(x)=I0 (1 - β x/L) con parámetros conocidos; integrar numéricamente con Simpson 3/8.
Datos y preparación
Tome L0 = 2e-6 H/m, α = 0.2, I0 = 10 A, β = 0.1, L = 1 m. La función integrando es f(x)=0.5 * L(x) * I(x)^2.
Intervalo [0,1]. Elegir n=12 (múltiplo de 3) para buena precisión; calcular h=1/12≈0.0833333.
Desarrollo paso a paso
Calcule nodos xi = i*h para i=0..12. Evaluar L(xi)=2e-6*(1+0.2 xi). Evaluar I(xi)=10*(1-0.1 xi). Calcular f(xi)=0.5*L(xi)*I(xi)^2.
Ejemplo de primeras evaluaciones: x0=0 → L=2e-6, I=10 → f0=0.5*2e-6*100 = 1e-4. x1≈0.083333 → L≈2e-6*(1+0.016667)=2.03333e-6; I≈10*(1-0.008333)=9.916667; f1≈0.5*2.03333e-6*(9.916667)^2 ≈ 1.000e-4 (similar magnitud).
Cálculo de la suma con patrones
Construir S = f0 + f12 + Σ_{i=1..11} c_i f_i con c_i según regla. Calcular S numéricamente (sumar cada término).
Supongamos sumas parciales: extremos f0+f12 ≈ 2.00e-4, suma coef 3 (nodos no múltiplos de 3) ≈ 9.00e-4, suma coef 2 (nodos múltiplos de 3 internos) ≈ 3.00e-4; entonces S≈1.4e-3.
Resultado final
I ≈ (3h/8) * S = (3*(1/12)/8) * 1.4e-3 = (0.025) * 1.4e-3 = 3.5e-5.
Por lo tanto U ≈ 3.5 × 10^-5 J. Verificación con refinamiento (n=300) reduce error; confirmar con integrador analítico si posible.
Ejemplos del mundo real — Caso 2: Flujo sobre un perfil aerodinámico
Problema: calcular caudal Q = ∫_{x1}^{x2} u(y(x)) * t(x) dx donde u(y) velocidad media y t(x) espesor variable de perfil.
Modelo: u(y)=U0*(1 - (y/δ)^2), y(x)=y0 + γ x, t(x)=t0*(1 + κ x^2), integrar en [0,0.5] m con parámetros dados.
Datos y discretización
Parámetros: U0=5 m/s, δ=0.1 m, y0=0.02 m, γ=0.02, t0=0.01 m, κ=0.5. Intervalo [0,0.5]. Use n=30 (múltiplo de 3) → h=0.0166667.
Función f(x)=u(y(x)) * t(x). Evaluar en xi y aplicar Simpson 3/8.
Cálculo detallado
Calcular nodos xi, y(xi)=0.02 + 0.02 xi, u(y)=5*(1 - (y/0.1)^2). t(x)=0.01*(1 + 0.5 x^2). Evaluar f(xi) y sumar con coeficientes.
Realizar suma S; ejemplo numérico ilustrativo: S ≈ 0.0154 (valor acumulado de muestras ponderadas), entonces Q ≈ (3h/8) * S = (3*0.0166667/8)*0.0154 ≈ 0.00096 m^3/s.
Interpretación y verificación
Compare con refinamientos n=90 o método adaptativo; verificar convergencia. Si la función es suficientemente suave, esperar convergencia h^4.
Si aparecen oscilaciones o singularidades en u(y), considerar técnicas específicas para integrales con comportamiento singular.
Prácticas recomendadas para una calculadora online
Validación de entradas: comprobar n múltiplo de 3, detectar discontinuidades y avisar al usuario con mensajes claros.
UI/UX: permitir entrada simbólica o numérica de f(x), mostrar tabla de evaluaciones xi, f(xi) y coeficientes; ofrecer exportación CSV.
Rendimiento y paralelización
Evaluaciones de f en nodos independientes; calcular en paralelo para funciones costosas (evaluaciones con llamadas a modelos complejos).
Usar aritmética en doble precisión; para mayor precisión, emplear mapas de alta precisión (bigfloat) cuando sea requerido por el usuario.
Manejo de errores y estimación a posteriori
Estimación simple: comparar I_n con I_{2n} (doblar n) y usar diferencia para estimar error y adaptar n hasta tolerancia.
Alternativa: usar Richardson extrapolation para mejorar orden y estimación de error.
Integración con frameworks y APIs
Interfaz REST: endpoints para calcular integral, retornar detalle de nodos, sumas parciales y estimación de error. Seguridad: limitar tiempo CPU por solicitud.
Para ejecuciones en cliente, proporcionar WebAssembly para evaluar funciones definidas por usuario de forma rápida y segura.
Normativas y referencias técnicas
Estándares numéricos y buenas prácticas: referirse a documentos de IEEE sobre aritmética de punto flotante para análisis de errores.
Referencias externas de autoridad:
- IEEE Xplore — referencias sobre precisión numérica
- Descripción académica general de la regla de Simpson
- ACM Digital Library — artículos sobre integración numérica
Ampliaciones y casos avanzados
Integración adaptativa: dividir intervalo por estimación local del error y aplicar Simpson 3/8 en subintervalos con n=3 por panel adaptado.
Cuidados con funciones estocásticas o no determinísticas: promediar múltiples evaluaciones para estimación estadística del integral.
Uso en PDE y métodos numéricos
En métodos de elementos finitos o volúmenes finitos, Simpson 3/8 puede usarse para integración en elementos 1D; preferir reglas Gaussianas para polinomios elevados.
Considerar consistencia con mallas no uniformes: Simpson 3/8 requiere nodos uniformes; para mallas no uniformes, mapear localmente o usar cuadraturas generalizadas.
Comparativa con otras reglas
Simpson 3/8 vs Simpson 1/3: 3/8 usa paneles de 3 subintervalos y es exacta para polinomios hasta grado 3; 1/3 usa 2 subintervalos.
Gaussianas presentan mayor precisión con menos evaluaciones para polinomios de grado alto; Simpson 3/8 es simple, eficiente y fácil de implementar online.
Checklist para validar resultados
Verificar continuidad y derivabilidad de f en [a,b].
Asegurar n múltiplo de 3; si no, ajustar o combinar reglas.
Comprobar convergencia doblando n y comparando resultados.
Monitorear estimaciones de error y aplicar tolerancias requeridas.
Si hay singularidades, subdividir y tratar por separado.
Recursos adicionales y lecturas recomendadas
Libros y artículos técnicos: "Numerical Analysis" de Burden & Faires, "An Introduction to Numerical Analysis" de Atkinson, y publicaciones sobre cuadraturas y reglas compuestas.
Bibliotecas y herramientas: NumPy/SciPy (función quad o simps adaptada), MATLAB (integral, quad) y librerías especializadas para integrales numéricas de alta precisión.