Calculadora de error absoluto y relativo entre iteraciones

Calculadora para error absoluto y relativo entre iteraciones: herramienta para medir convergencia numérica rápida.

Este artículo describe fórmulas, tablas responsivas, ejemplos aplicados y guías para implementación y validación.

Conceptos fundamentales y objetivos de la calculadora

La calculadora de error absoluto y relativo entre iteraciones cuantifica discrepancias entre aproximaciones sucesivas en métodos numéricos.

Se utiliza para evaluar convergencia, establecer tolerancias y diagnosticar estabilidad en algoritmos iterativos.

Definición operativa

Error absoluto entre iteraciones: diferencia directa entre valores consecutivos de una secuencia aproximada.

Error relativo entre iteraciones: error absoluto normalizado respecto a la magnitud del valor de referencia, expresado adimensionalmente.

Fórmulas esenciales para la calculadora

A continuación se presentan las fórmulas necesarias para calcular errores entre iteraciones, con formato construido para lectura en navegadores y dispositivos.

Error absoluto entre iteraciones

Fórmula principal para el error absoluto entre iteraciones k y k+1:

Explicación de variables:

• x_k: aproximación en la iteración k.
• x_{k+1}: aproximación en la iteración k+1.
• ε_abs(k+1): error absoluto entre las iteraciones k y k+1.

Valores típicos por variable:

• x_k, x_{k+1}: números reales (pueden ser vectoriales en problemas multidimensionales).
• ε_abs: en escalas de signo positivo; se espera que tienda a cero conforme converge el método.

Error relativo entre iteraciones

Fórmulas comunes para error relativo (dos variantes útiles):

Explicación de variables:

• ε_rel(k+1): error relativo usando como denominador el nuevo valor x_{k+1}.
• ε_rel_{sim}: versión robusta que evita división por cero mediante δ (umbral mínimo).
• δ: pequeño valor positivo (p. ej., 10^−12 o la tolerancia de máquina) para garantizar estabilidad numérica.

Valores típicos por variable:

• δ: 10^−12 a 10^−16 según precisión de punto flotante; en aritmética doble conviene 1e-16 como referencia.
• ε_rel: se busca que sea menor que la tolerancia prescrita (p. ej., 1e-6, 1e-8).

Fórmulas auxiliares y criterios de parada

Criterios de parada combinan límites absolutos y relativos para robustez:

Donde tol_abs y tol_rel son tolerancias definidas por el usuario o por norma aplicable.

También es común usar criterios basados en el número máximo de iteraciones N_max y la reducción relativa del residuo.

Tablas responsivas de valores comunes

Las tablas siguientes contienen valores de tolerancia y ejemplos de errores en distintos contextos numéricos.

La estructura está diseñada para visualización en pantallas grandes y pequeñas, con columnas colapsables según ancho.

Tabla de ejemplos numéricos de errores entre iteraciones con valores de x_k y x_{k+1}.

Implementación práctica y consideraciones numéricas

En implementaciones reales hay que atender la aritmética flotante, cancelación y escalado de variables.

Se recomiendan versiones robustas de error relativo y comprobaciones de nan/infinito en cada actualización.

Manejo de vectores y normas

Para problemas multidimensionales use normas vectoriales para generalizar el concepto de error.

Fórmulas típicas con norma p (p = 1, 2, ∞):

Donde || · ||_p denota la norma p, con valores típicos: p=2 (euclidiana), p=∞ (máximo absoluto), p=1 (suma absoluta).

Escalado y precondicionamiento

Cuando las componentes tienen escalas diferentes, normalice por un vector de referencias para evitar sobredominio de componentes grandes.

Ejemplo de normalización componente a componente:

δ_i puede elegirse proporcional a la escala esperada de la componente i o a la tolerancia de máquina.

Ejemplos del mundo real: dos estudios completos

Caso 1: Método de Newton para raíz de función univariante

Planteamiento: hallar raíz de f(x) = x^3 − 2x − 5 usando Newton-Raphson con x_0 = 2.

Objetivo: calcular ε_abs y ε_rel entre iteraciones hasta tolerancia tol_rel = 1e-8 y δ = 1e-12.

Iteración 0: x_0 = 2.000000

f(x) = x^3 − 2x − 5, f'(x) = 3x^2 − 2.

Paso 1: calcular x_1 = x_0 − f(x_0)/f'(x_0).

Cálculo numérico:

• f(2) = 8 − 4 − 5 = −1
• f'(2) = 12 − 2 = 10
• x_1 = 2 − (−1)/10 = 2.1

Errores entre iteraciones:

• ε_abs(1) = |2.1 − 2| = 0.1
• ε_rel(1) = 0.1 / |2.1| = 0.0476190476

Paso 2: x_2 = x_1 − f(x_1)/f'(x_1)

Valores:

• f(2.1) = 9.261 − 4.2 − 5 = 0.061
• f'(2.1) = 13.23 − 2 = 11.23
• x_2 = 2.1 − 0.061/11.23 ≈ 2.094569

Errores:

• ε_abs(2) = |2.094569 − 2.1| = 0.005431
• ε_rel(2) = 0.005431 / |2.094569| ≈ 0.002592

Paso 3: repetir hasta cumplir tolerancia:

• Iteración 3: x_3 ≈ 2.0945514815423265 (resultado estándar)
• ε_abs(3) ≈ 1.74e-05
• ε_rel(3) ≈ 8.31e-06

Determinación de parada: en iteración 3 ε_rel < tol_rel (8.31e-06 < 1e-8) — en este ejemplo se alcanza antes; sin embargo, en práctica se exige verificar ambos criterios y posible incremento de precisión si necesario.

Caso 2: Solver iterativo para sistema lineal (método de Jacobi)

Planteamiento: resolver Ax = b con A = [[4,1],[2,3]] y b = [1,2]^T usando Jacobi con x_0 = [0,0]^T.

Objetivo: controlar ε_abs y ε_rel en norma infinito con tol_rel = 1e-6 y δ = 1e-12.

Iteración Jacobi: x^{(k+1)}_i = (b_i − Σ_{j≠i} a_{ij} x^{(k)}_j) / a_{ii}.

Iteración 0: x^0 = [0, 0].

• x^1_1 = (1 − 1*0)/4 = 0.25
• x^1_2 = (2 − 2*0)/3 = 0.6666666667
• x^1 = [0.25, 0.6666666667]

Errores (norma ∞):

• ε_abs = max(|0.25 − 0|, |0.6666666667 − 0|) = 0.6666666667
• ε_rel = ε_abs / max(||x^1||_∞, δ) = 0.6666666667 / 0.6666666667 = 1.0

Iteración 1 → 2:

• x^2_1 = (1 − 1*0.6666666667)/4 = 0.0833333333
• x^2_2 = (2 − 2*0.25)/3 = 0.5
• x^2 = [0.0833333333, 0.5]

Errores entre iteraciones (k=1→2):

• ε_abs = max(|0.0833333333 − 0.25|, |0.5 − 0.6666666667|) = 0.1666666667
• ε_rel = 0.1666666667 / max(0.5, δ) = 0.3333333334

Continuando iteraciones se observa decrecimiento geométrico del error si el método converge, hasta que ε_rel < tol_rel.

Buenas prácticas y verificación

Recomendaciones operativas para una calculadora robusta:

• Implementar ε_rel con denominador protegido por δ para evitar división por cero.
• Calcular normas adecuadas según dimensión del problema.
• Registrar historial de errores por iteración para análisis post-mortem.
• Usar criterios combinados: tol_abs y tol_rel y un límite de iteraciones N_max.
• Comprobar divergencia por crecimiento de ε_abs o por ocurrencia de NaN/Inf.

Auditoría numérica y pruebas:

• Pruebas unitarias con casos analíticos conocidos.
• Análisis de sensibilidad ante perturbaciones en datos y en precisión de punto flotante.
• Comparación con soluciones de referencia de alta precisión (por ejemplo, aritmética múltiple precisión).

Accesibilidad, usabilidad y diseño responsivo

Para accesibilidad, las tablas incluyen roles ARIA y se deben diseñar estilos que permitan lectura en lectores de pantalla.

En dispositivos móviles se colapsan columnas menos relevantes y se prioriza la columna de contexto y errores principales.

Requisitos de UX para calculadora interactiva

• Entradas validadas con mensajes claros sobre tolerancias y δ recomendada.
• Salida con histórico de iteraciones, ε_abs y ε_rel en cada paso y razón de convergencia.
• Opciones avanzadas para elegir norma, tolerancias y protección contra división por cero.

Referencias normativas y recursos de autoridad

Normas y guías que abordan verificación numérica y tolerancias en cálculos científicos:

• IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (IEEE 754) — especificaciones sobre precisión y comportamiento numérico. https://standards.ieee.org/standard/754-2019.html
• Higham, N. J. (2002). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms — referencia académica sobre estabilidad y errores numéricos. https://www.cambridge.org/
• Golub, G. H., & Van Loan, C. F. (2013). Matrix Computations — tratamiento de métodos iterativos y errores en álgebra lineal numérica.
• Documentación de BLAS/LAPACK para prácticas de cálculo numérico optimizado. https://www.netlib.org/lapack/

Extensión: análisis avanzado de convergencia y estimadores de error

Estimadores de orden de convergencia p requieren secuencias de errores y se usan para diagnosticar si el método converge lineal, cuadrático, etc.

Fórmula práctica para estimar orden p aproximado entre tres iteraciones:

Interpretación:

• p ≈ 1 indica convergencia lineal.
• p ≈ 2 indica convergencia cuadrática.
• Valores intermedios o variables indican comportamiento irregular o preasintótico.

Estimadores a posteriori y bounds

En ciertos métodos (p. ej., Newton) existen estimadores teóricos del error basados en constantes de Lipschitz y derivadas de orden superior.

Un bound típico para Newton en entorno de convergencia:

Donde C depende de la segunda derivada y de la inversa de la derivada primera en el entorno; esto permite validar la observada orden cuadrático.

Implementación de ejemplo: pseudocódigo de calculadora

Pseudocódigo para iteración con cálculo de ε_abs y ε_rel y criterios de parada robustos:

Entrada: función iter(x), x0, tol_abs, tol_rel, δ, N_max.

1. k = 0; x = x0; historial = []
2. while k < N_max:
3. x_new = iter(x)
4. ε_abs = norm(x_new − x)
5. denom = max(norm(x_new), δ)
6. ε_rel = ε_abs / denom
7. append historial (k+1, x_new, ε_abs, ε_rel)
8. if ε_abs ≤ tol_abs or ε_rel ≤ tol_rel: break
9. if isNaN(ε_abs) or isInf(ε_abs): raise error de divergencia
10. x = x_new; k += 1
11. end while
12. return historial, x_new

Notas: elegir norma adecuada y tipar variables con precisión doble; para grandes sistemas soporte paralelo y almacenamiento de errores resumen.

Ampliación: pruebas, benchmarking y validación

Para validar la calculadora, diseñe suites de pruebas que incluyan casos con raíces conocidas, matrices diagonales dominantes y problemas mal condicionados.

Medidas de rendimiento:

• Tiempo por iteración y coste de cálculo de normas.
• Número de iteraciones hasta cumplimiento de tolerancias.
• Robustez ante ruidos en datos y errores de redondeo.

Recursos adicionales y enlaces

Enlaces de interés para profundizar en teoría y prácticas numéricas:

• IEEE 754: https://standards.ieee.org/standard/754-2019.html
• Numerical Recipes: http://numerical.recipes/ (recursos sobre algoritmos numéricos)
• Netlib LAPACK: https://www.netlib.org/lapack/
• Higham - Accuracy and Stability: https://www.cambridge.org/ (buscar por Nicholas Higham)

Resumen técnico y recomendaciones finales

Use ε_abs y ε_rel protegidos para control de convergencia y seleccione tolerancias según contexto y precisión disponible.

Registre histórico, estime orden de convergencia y emplee pruebas normadas para certificar implementaciones en entornos críticos.