Calculadora de ecuaciones diferenciales lineales de 2º orden homogéneas
Calcula las raíces de la ecuación característica a·y'' + b·y' + c·y = 0, determina el tipo de solución general (raíces reales distintas, reales repetidas o complejas conjugadas) y ofrece parámetros útiles en sistemas masa-resorte-amortiguador.
• Ecuación característica: a·r^2 + b·r + c = 0.
• Solución de la característica: r = [ -b ± sqrt(b^2 - 4ac) ] / (2a).
• Casos:
– Si Δ = 0: raíces reales repetidas → y = (C1 + C2·x)·e^{r·x}.
– Si Δ < 0: raíces complejas r = α ± iβ con α = −b/(2a), β = sqrt(4ac − b^2)/(2a) → y = e^{αx}(C1·cos(βx) + C2·sin(βx)).
• Parámetros adicionales (sistemas masa-amortiguador): frecuencia natural ωn = sqrt(c/a) (si a>0,c>0) y razón de amortiguamiento ζ = b/(2·sqrt(a·c)).
| Sistema | a (masa m) | b (amortiguamiento c) | c (rigidez k) | Tipo de respuesta típica |
|---|---|---|---|---|
| Masa-resorte sin amortiguamiento | 1 | 0 | 1 | Oscilatorio puro (Δ<0) |
| Sistema críticamente amortiguado | 1 | 2 | 1 | Δ = 0, respuesta no oscilatoria |
| Sistema sobreamortiguado | 1 | 3 | 1 | Dos raíces reales negativas |
| Sistema ligero con alta rigidez | 0.5 | 0.2 | 10 | Alta frecuencia natural |
Preguntas frecuentes
Fundamentos matemáticos y clasificación
Una ecuación diferencial de segundo orden homogénea tiene la forma general ax''+bx'+cx=0, con a≠0.
Se clasifican según coeficientes constantes o variables; aquí tratamos principalmente coeficientes constantes.
Estructura general y solución característica
Planteo característico: asumir solución x(t)=e^{rt} conduce a ar^2+br+c=0 llamada ecuación característica.
Las raíces r1 y r2 determinan soluciones: reales distintas, reales repetidas o complejas conjugadas.
Fórmulas fundamentales y explicación de variables
A continuación se presentan todas las fórmulas necesarias para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas con coeficientes constantes.
Ecuación diferencial estándar
ax''(t)+bx'(t)+cx(t)=0
Variables: a, b, c son coeficientes reales; x(t) función desconocida de la variable independiente t; x' primera derivada; x'' segunda derivada.
Ecuación característica y discriminante
Ecuación característica: ar^2 + br + c = 0
Discriminante: Δ = b^2 − 4ac. Valores típicos: Δ>0 (dos raíces reales), Δ=0 (raíz doble), Δ<0 (raíces complejas).
Soluciones según discriminante
Caso 1 — raíces reales y distintas (Δ>0): r1 = (−b + √Δ)/(2a), r2 = (−b − √Δ)/(2a)
Solución general: x(t) = C1 e^{r1 t} + C2 e^{r2 t}, con constantes C1, C2 determinadas por condiciones iniciales.
Caso 2 — raíz real doble (Δ=0): r = −b/(2a)
Solución general: x(t) = (C1 + C2 t) e^{r t}.
Caso 3 — raíces complejas conjugadas (Δ<0): r = α ± iβ, α = −b/(2a), β = √(4ac−b^2)/(2a)
Solución general: x(t) = e^{α t} [C1 cos(β t) + C2 sin(β t)].
Relación con valores iniciales
Condiciones típicas: x(0)=x0, x'(0)=v0. Resolución de constantes C1 y C2 mediante sistema lineal.
Ejemplo genérico: con raíces r1,r2, resolver C1 + C2 = x0, C1 r1 + C2 r2 = v0.
Implementación de calculadora: ecuaciones y pasos de operación
La calculadora debe tomar a, b, c y condiciones iniciales x(0), x'(0) y devolver la solución analítica y parámetros auxiliares.
Pasos: validar a≠0, calcular Δ, determinar caso, calcular raíces r, formar solución general, imponer condiciones iniciales, simplificar resultados.
Fórmulas auxiliares usadas en la calculadora
Cálculo de raíces reales: r = (−b ± √(b^2−4ac))/(2a).
Para Δ<0, usar α = −b/(2a) y β = √(4ac−b^2)/(2a) para formar solución en términos de cos y sin.
Tabla de valores más comunes
Se presenta una tabla responsiva con ejemplos frecuentes de coeficientes y sus soluciones características y tipos de respuesta dinámica.
| a | b | c | Δ | Tipo | Raíces r | Forma solución general |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | −4 | Complejas | ±i | e^{0t}[C1 cos(t)+C2 sin(t)] |
| 1 | 2 | 1 | 0 | Doble | −1 (doble) | (C1 + C2 t) e^{−t} |
| 1 | 3 | 2 | 1 | Reales distintas | −1, −2 | C1 e^{−t} + C2 e^{−2t} |
| 1 | 0 | 0 | 0 | Degenerada | 0 (doble) | C1 + C2 t |
| 4 | 4 | 1 | 0 | Doble | −0.5 (doble) | (C1 + C2 t) e^{−0.5 t} |
Accesibilidad y estilo de la tabla
La tabla anterior utiliza un contenedor con desplazamiento horizontal para dispositivos pequeños y una disposición completa en pantallas anchas.
Esto garantiza que la información permanezca legible tanto en escritorio como en móviles y cumple criterios básicos de accesibilidad.
Representación de fórmulas con marcado estructurado y estilos
Las fórmulas se exponen con elementos de texto y operadores para garantizar compatibilidad con lectores de pantalla y motores de búsqueda.
Se evita uso de motores de renderización matemática externos y se presenta todo en texto enriquecido estructurado.
Fórmulas principales (en forma textual estructurada)
Ecuación diferencial: a · x''(t) + b · x'(t) + c · x(t) = 0
Ecuación característica: a · r^2 + b · r + c = 0
Discriminante: Δ = b^2 − 4 · a · c
Raíces (Δ≥0): r1 = (−b + √Δ) / (2 · a), r2 = (−b − √Δ) / (2 · a)
Solución caso Δ>0: x(t) = C1 · e^{r1 t} + C2 · e^{r2 t}
Solución caso Δ=0: x(t) = (C1 + C2 · t) · e^{r t}, con r = −b / (2 · a)
Solución caso Δ<0: α = −b / (2 · a), β = √(4 · a · c − b^2) / (2 · a)
Entonces x(t) = e^{α t} [C1 · cos(β t) + C2 · sin(β t)]
Explicación y valores típicos por variable
- a: coeficiente de la segunda derivada; típicamente 1 en modelos normalizados (ej.: sistemas mecánicos, circuitos).
- b: coeficiente de la primera derivada; representa amortiguamiento o fricción en sistemas físicos.
- c: coeficiente de la variable; frecuentemente relacionado con rigidez o restauración (k/m en oscilador).
- x0 = x(0): condición inicial de posición o estado inicial.
- v0 = x'(0): condición inicial de velocidad o tasa inicial.
Ejemplos aplicados: casos reales con desarrollo detallado
Se incluyen dos casos del mundo real: oscilador masa-resorte amortiguado y circuito RLC serie idealizado.
Cada caso presenta datos, pasos, cálculo analítico y solución final con interpretación física.
Caso 1: Oscilador masa-resorte amortiguado
Modelo: m x'' + c x' + k x = 0. Tomemos m=1 kg, c=0.4 N·s/m, k=4 N/m.
Convertimos a forma estándar: a=1, b=0.4, c=4. Condiciones: x(0)=0.1 m, x'(0)=0 m/s.
Paso 1: calcular discriminante Δ = b^2 − 4ac = 0.16 − 16 = −15.84 < 0, raíces complejas.
Paso 2: α = −b/(2a) = −0.4/2 = −0.2 s^{−1}. β = √(4ac−b^2)/(2a) = √(16 − 0.16)/2 = √(15.84)/2 ≈ 3.981/2 ≈ 1.9905 s^{−1}.
Solución general: x(t) = e^{−0.2 t} [C1 cos(1.9905 t) + C2 sin(1.9905 t)].
Imponer condiciones: x(0)=0.1 ⇒ C1 = 0.1.
Calcular x'(t): x'(t)= e^{−0.2 t}[−0.2(C1 cos βt + C2 sin βt) + (−C1 β sin βt + C2 β cos βt)].
Evaluar en t=0: x'(0)= −0.2 C1 + β C2 = 0 ⇒ C2 = (0.2 C1)/β = (0.2·0.1)/1.9905 ≈ 0.02/1.9905 ≈ 0.01005.
Solución completa: x(t) = e^{−0.2 t} [0.1 cos(1.9905 t) + 0.01005 sin(1.9905 t)].
Interpretación: amortiguamiento leve, frecuencia amortiguada ≈1.99 rad/s, amplitud decae exponencialmente con tasa 0.2 s^{−1}.
Caso 2: Circuito RLC serie sin fuente (respuesta libre)
Ecuación: L q'' + R q' + (1/C) q = 0. Tomemos L=0.5 H, R=2 Ω, C=0.125 F.
Convertimos a forma estándar para q(t): a=L=0.5, b=R=2, c=1/C=8.
Paso 1: Δ = b^2 − 4ac = 4 − 4·0.5·8 = 4 − 16 = −12 < 0 (subamortiguado).
α = −b/(2a) = −2/(1) = −2 s^{−1}. β = √(4ac−b^2)/(2a) = √(16 − 4)/1 = √12 ≈ 3.4641 s^{−1}.
Solución general para carga q(t): q(t) = e^{−2 t}[C1 cos(3.4641 t) + C2 sin(3.4641 t)].
Condiciones típicas: q(0)=Q0=1 C, i(0)=q'(0)=0 A para ejemplo.
Imponer q(0)=1 ⇒ C1 = 1. Derivar q'(t) y evaluar en 0:
q'(t)= e^{−2 t}[−2(C1 cos βt + C2 sin βt) + (−C1 β sin βt + C2 β cos βt)].
q'(0)= −2 C1 + β C2 = 0 ⇒ C2 = (2 C1)/β = 2/3.4641 ≈ 0.57735.
Solución completa: q(t) = e^{−2 t}[cos(3.4641 t) + 0.57735 sin(3.4641 t)].
Corriente i(t)=q'(t) obtenible por derivación explícita y relevante para análisis de potencia y respuesta transitoria.
Resolución de condiciones iniciales: método algebraico
Para raíces reales r1≠r2, formar sistema para C1 y C2: C1 + C2 = x0; C1 r1 + C2 r2 = v0.
Resolver: C1 = (v0 − r2 x0)/(r1 − r2), C2 = (r1 x0 − v0)/(r1 − r2).
Para raíces complejas α±iβ, con solución e^{α t}[C1 cos βt + C2 sin βt], emplear condiciones directas:
x(0)=C1, x'(0)=α C1 + β C2 ⇒ C2 = (x'(0) − α x(0))/β.
Buenas prácticas numéricas y simbólicas
Validar entradas: comprobar que a no sea cero, que coeficientes sean finitos y condiciones consistentes.
Para discriminante cercano a cero aplicar métodos de alta precisión numérica para evitar cancelaciones en la fórmula cuadrática.
Manejo de precisión y escalado
Si |b| y √Δ son grandes, usar fórmula cuadrática estable: r1 = (−b − sign(b) √Δ)/(2a), r2 = c/(a r1) para mejorar precisión.
En presencia de coeficientes con órdenes de magnitud distintos, escalar la ecuación para normalizar a=1 y reducir errores numéricos.
Extensiones y casos avanzados
Ecuaciones con coeficientes variables requieren métodos distintos: reducción de orden, series de potencia o transformadas integrales.
Para operadores lineales con condiciones en series y problemas de Sturm-Liouville consultar literatura especializada.
Reducción de orden (cuando una solución conocida existe)
Si x1(t) es una solución conocida, buscar x2(t)=u(t) x1(t). Sustituir y resolver primera orden para u'(t).
Esto generaliza la solución para casos no triviales cuando solo se conoce una solución particular.
Relación con transformada de Laplace
La transformada de Laplace convierte la ecuación diferencial en álgebra: L{x''}=s^2 X − s x(0) − x'(0), útil para condiciones iniciales.
Resolver algebraicamente X(s) y aplicar transformada inversa para obtener x(t), especialmente eficiente con términos forzantes.
Recursos, normativa y referencias técnicas
Referencias académicas y normativas relevantes para la modelización y análisis matemático:
Books: "Ordinary Differential Equations" by E. L. Ince; "Differential Equations and Their Applications" by M. Braun.
- Enlace autoridad: NIST Digital Library of Mathematical Functions — https://dlmf.nist.gov/
- Enlace técnica: SIAM — Society for Industrial and Applied Mathematics — https://www.siam.org/
- Referencia normativa para notación y estilo: ISO 80000 (magnitudes y unidades) — https://www.iso.org/iso-80000-1
Artículos y recursos en línea que amplían técnicas de solución y estabilidad numérica.
Recomiendo revisar guías de buenas prácticas numéricas en publicaciones de SIAM y NIST para cálculos sensibles.
Ampliación: más ejemplos y variaciones
Ejemplo adicional 1: sistema con raíces reales positivas (crecimiento exponencial) — a=1,b=−1,c=−6.
Δ = (−1)^2 − 4·1·(−6) = 1 + 24 = 25 ⇒ r = (1 ± 5)/2 ⇒ r1=3, r2=−2 ⇒ solución x(t)=C1 e^{3t} + C2 e^{−2t}.
Con x(0)=2, x'(0)=1 ⇒ C1 + C2 = 2; 3 C1 −2 C2 = 1 ⇒ resolver: C1 = 5/5 =1, C2 =1.
Solución: x(t)= e^{3t} + e^{−2t}, comportamiento inestable por término e^{3t}.
Ejemplo adicional 2: caso crítico amortiguamiento (Δ=0) con a=1,b=4,c=4 ⇒ r=−2, solución x(t)=(C1 + C2 t)e^{−2t}.
Con x(0)=0, x'(0)=1 ⇒ C1=0; x'(0)=C2 e^{0} −2 C1 ⇒ C2=1 ⇒ x(t)= t e^{−2t}.
Checklist para implementación en calculadora
Validaciones de entrada: a ≠ 0; tipos numéricos; comprobación de rangos.
Salida: Δ, raíces, forma simbólica de la solución, constantes C1/C2 con condiciones iniciales, gráfico de x(t) y, opcionalmente, derivadas y energía del sistema.
- Normalizar por a si a≠1.
- Calcular Δ con alta precisión.
- Determinar caso (Δ>0, =0, <0).
- Calcular raíces y parámetros α,β.
- Formar solución general y aplicar condiciones iniciales.
- Simplificar expresiones y presentar resultado en forma legible.
Consideraciones finales sobre uso práctico
Esta guía está diseñada para ingenieros y científicos que requieran implementar una herramienta robusta para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden.
La combinaciónde fórmulas, ejemplos y tablas facilita la integración en aplicaciones numéricas, educativas y de simulación.