Calculadora gratuita para derivadas de orden superior, con pasos, fórmulas y ejemplos prácticos completos.
Aquí se explica su uso, implementación matemática y referenciación para uso académico y profesional.
Calculadora de derivadas de orden superior (numérica)
Calcula de forma numérica la derivada de orden n de una función f(x) en un punto x₀ usando diferencias finitas. Útil para análisis numérico, modelado físico y verificación de derivadas cuando no se dispone de una expresión simbólica.
• Aproximación de la derivada de orden n: f^{(n)}(x) ≈ Δⁿ f(x) / hⁿ.
• Variables: f(x) = función, n = orden entero positivo, h = paso (pequeño), x = punto de evaluación.
• Para estimar error se calcula D(h) y D(h/2) y se muestra la diferencia absoluta y relativa entre ambas aproximaciones.
| Contexto | Derivada típica | Comentario |
|---|---|---|
| Mecánica | 1: velocidad, 2: aceleración | Derivadas 1ª y 2ª con interpretación física directa. |
| Control y robótica | 3: jerk, 4: snap | Órdenes 3–4 relevantes para suavizado de trayectorias. |
| Señales | n>2 | Derivadas altas aumentan ruido; filtrar previo. |
| Optimización numérica | 2: Hessiana (según variable) | Usar derivadas numéricas para comprobaciones, no para producción en orden alto. |
Preguntas frecuentes
Resumen técnico y propósito
Esta guía aborda el diseño, uso y fundamentos matemáticos de una calculadora de derivadas de orden superior accesible en línea y sin coste.
Se proveen tablas de referencia, fórmulas detalladas, ejemplos resueltos y criterios de precisión numérica y simbólica.
Definición formal y alcance funcional
Una calculadora de derivadas de orden superior evalúa derivadas n-ésimas de funciones reales o vectoriales, simbólica o numéricamente.
Soporta funciones elementales, polinómicas, racionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y composiciones, con órdenes enteros no negativos.
Especificaciones matemáticas esenciales
Dominio: f: D ⊆ R → R o f: D ⊆ R → R^m; D abierto. Orden: n ∈ Z_{\ge0}. Resultado: f^{(n)}.
Precisión: simbólica (exacta) cuando la expresión lo permite; numérica mediante diferencias finitas con control de error adaptativo.
Notación y convenciones
f^{(n)}(x) denota la derivada de orden n. Df(x) o f'(x) para primera derivada. Derivadas parciales para funciones multivariables no se tratan aquí.
Se asume diferenciabilidad suficiente en el punto o intervalo considerado y continuidad de derivadas previas para reglas de orden superior.
Tablas de derivadas comunes
A continuación tablas responsivas con valores y fórmulas para derivadas hasta orden superior de funciones frecuentes.
Las tablas contienen derivadas de órdenes 0 a 4 para patrones típicos; adaptables a pantallas grandes y pequeñas.
| Función f(x) | f'(x) | f''(x) | f'''(x) | f⁽⁴⁾(x) |
|---|---|---|---|---|
| x^m | m x^{m-1} | m(m-1) x^{m-2} | m(m-1)(m-2) x^{m-3} | m(m-1)(m-2)(m-3) x^{m-4} |
| e^{ax} | a e^{ax} | a^2 e^{ax} | a^3 e^{ax} | a^4 e^{ax} |
| \u221aln(x) (i.e., ln x) | 1/x | -1/x^2 | 2/x^3 | -6/x^4 |
| \u03b1 \u03b2 sin(bx + c) | b cos(bx+c) | -b^2 sin(bx+c) | -b^3 cos(bx+c) | b^4 sin(bx+c) |
| cos(bx+c) | -b sin(bx+c) | -b^2 cos(bx+c) | b^3 sin(bx+c) | b^4 cos(bx+c) |
| tan(x) | sec^2(x) | 2 sec^2(x) tan(x) | 2 sec^2(x) (2 tan^2(x)+sec^2(x)) | ... |
| 1/(ax+b) | -a/(ax+b)^2 | 2a^2/(ax+b)^3 | -6a^3/(ax+b)^4 | 24a^4/(ax+b)^5 |
| \u221a{x} = x^{1/2} | \tfrac{1}{2} x^{-1/2} | -\tfrac{1}{4} x^{-3/2} | \tfrac{3}{8} x^{-5/2} | -\tfrac{15}{48} x^{-7/2} |
Tabla ampliada: incluye polinomios, combinaciones lineales y concatenaciones por regla de producto y cadena.
Tabla de coeficientes factoriales y patrones
Patrón factorial para derivadas de potencias y exponenciales: coeficiente general m!/(m-n)! para x^m y a^n para e^{ax}.
Tablas pueden extenderse hasta orden n con crecimiento factorial; se debe controlar overflow en cálculo numérico.
| Orden n | Coeficiente para x^m | Coeficiente para e^{ax} | Patrón trigonométrico |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | sin/cos |
| 1 | m | a | fase + \u2212/ |
| 2 | m(m-1) | a^2 | cambio de signo posible |
| 3 | m(m-1)(m-2) | a^3 | repetición periódica |
| n | m!/(m-n)! (si m\ge n) | a^n | ciclo de 4 para sin/cos |
Fórmulas fundamentales (expresadas en texto matemático renderizable)
Se listan aquí todas las fórmulas necesarias para calcular derivadas de orden superior, con explicación de cada variable y valores típicos.
Las fórmulas están descritas para cálculo simbólico y aproximación numérica mediante diferencias finitas y reglas de Richardson.
Regla de potencias (orden n)
Si f(x)=x^m con m \u2208 R y n \u2264 m entero no negativo, entonces f^{(n)}(x)=m(m-1)(m-2)...(m-n+1) x^{m-n}.
Variables: m (exponente real), n (orden entero \u22650), x (punto). Valores típicos: m entero no negativo; para m Si f(x)=e^{a x} entonces f^{(n)}(x)=a^n e^{a x}. Variables: a (constante real), n (orden), x (punto). Valores típicos: a=1 para e^x; crecimiento exponencial de coeficientes. Composición f(g(x)): la derivada n-ésima se expresa mediante la fórmula de Faà di Bruno, sumando particiones y productos de derivadas de f y g. Expresión general: f^{(n)}(g(x)) = sum_{k=1}^{n} f^{(k)}(g(x)) * B_{n,k}(g'(x),...,g^{(n-k+1)}(x)), donde B_{n,k} son polinomios de Bell. Variables: f^{(k)} evaluadas en g(x); g^{(j)} derivadas de g; n orden. Valores típicos: para n pequeño (≤4) se enumeran términos explícitos. n=1: (f\u00b4 \u0305 denota derivada) f'(g(x)) g'(x). n=2: f''(g(x)) [g'(x)]^2 + f'(g(x)) g''(x). n=3: f'''(g(x)) [g'(x)]^3 + 3 f''(g(x)) g'(x) g''(x) + f'(g(x)) g'''(x). n=4: f^{(4)}(g) [g']^4 + 6 f^{(3)}(g) [g']^2 g'' + 3 f''(g) [g'']^2 + 4 f''(g) g' g^{(3)} + f'(g) g^{(4)}. Para f(x)=u(x)v(x): f^{(n)}(x)=sum_{k=0}^{n} C(n,k) u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x), donde C(n,k)=n!/(k!(n-k)!). Variables: u^{(k)}, v^{(n-k)}; n orden. Valores típicos: se usa para productos de polinomios y exponenciales multiplicadas. La aproximación central generalizada para la derivada de orden n en x0 usa combinación lineal de f(x0 + j h), con coeficientes obtenidos resolviendo sistemas de Vandermonde o mediante fórmulas precomputadas. Expresión típica (segunda derivada central): f''(x0) ≈ (f(x0+h)-2f(x0)+f(x0-h))/h^2 + O(h^2). Si D(h) es aproximación con error O(h^p), entonces D_R = (2^p D(h/2) - D(h))/(2^p -1) reduce orden de error. Variables: h paso, p orden del término dominante del error. Valores típicos: p=2 para diferencias centrales; iterar para mejorar precisión. Consideraciones: para derivadas numéricas pequeñas h conduce a cancelación; usar aritmética de doble precisión o múltiple según necesidad. Flujo: parseo simbólico → simplificación → elección de método (simbólico si posible; numérico si no) → evaluación con control de error → formateo de salida. Módulos críticos: parser de expresiones, diferenciador simbólico, generador de fórmulas de Faà di Bruno, solucionador de sistemas para coeficientes de diferencias finitas. Se verifican patrones básicos (potencias, exponenciales, trigonométricas, logaritmos, racionales) para aplicar fórmulas exactas y evitar aproximación numérica. Uso de simplificación: factor común, cancelación, expansión de polinomios para facilitar derivación de orden alto. Para cálculo numérico se estiman errores truncamiento y redondeo; se adaptan h y se aplica Richardson hasta cumplir tolerancia absoluta/relativa especificada. Tolerancias típicas: 1e-8 (relativa) y 1e-12 (absoluta) en modo de alta precisión; permitir ajuste por usuario. Problema: posición s(t)=3t^4-5t^2+2t; calcular velocidad, aceleración y la derivada de orden 3 en t=2. Objetivo: demostrar cálculo exacto de derivadas de orden superior para una función polinómica y evaluar en punto. f(t)=3t^4-5t^2+2t. Primera derivada: f'(t)=12t^3-10t+2. Segunda derivada: f''(t)=36t^2-10. Tercera derivada: f'''(t)=72t. Evaluación en t=2: f'(2)=12*(8)-10*2+2=96-20+2=78. f''(2)=36*4-10=144-10=134. f'''(2)=72*2=144. Velocidad 78 unidades/tiempo, aceleración 134 unidades/tiempo^2, cambio de aceleración (jerk) 144 unidades/tiempo^3. La calculadora entrega resultados simbólicos y numéricos; para polinomios la exactitud es trivial en aritmética entera/razonable. Problema: g(x)=e^{\sin(x)}; calcular g^{(3)}(x) y evaluar en x=\u03c0/6. Este caso ilustra uso de la fórmula de Faà di Bruno para composición exponencial y trigonométrica. Sea f(u)=e^{u}, u(x)=\u221a sin(x) (aquí u(x)=sin x para simplicidad del ejemplo). Usamos Faà di Bruno (n=3): g^{(3)}(x)=f^{(3)}(u)[u']^3 + 3 f''(u) u' u'' + f'(u) u'''. Para f^{(k)}(u)=e^{u} para todo k. Para u=sin x: u'=cos x, u''=-sin x, u'''=-cos x. Sustituyendo: g^{(3)}(x)=e^{\sin x}[ (cos x)^3 + 3 (cos x)(-sin x) + (-cos x) ]. Factorizando: g^{(3)}(x)=e^{\sin x} [ cos^3 x -3 cos x sin x - cos x ]. Evaluación en x=\u03c0/6: sin(\u03c0/6)=1/2, cos(\u03c0/6)=\u221a3/2. cos^3 = ( \u221a3/2 )^3 = 3\u221a3/8. cos sin = (\u221a3/2)*(1/2)=\u221a3/4. Suma interna = 3\u221a3/8 -3*(\u221a3/4) - \u221a3/2 = 3\u221a3/8 -3\u221a3/4 -4\u221a3/8 = (3\u221a3 -6\u221a3 -4\u221a3)/8 = -7\u221a3/8. Por tanto g^{(3)}(\u03c0/6)=e^{1/2} * (-7\u221a3/8) ≈ e^{0.5} * (-1.5129) ≈ 1.64872 * (-1.5129) ≈ -2.493. La calculadora da formato simbólico y evaluación numérica con control de error por truncamiento. Para órdenes altos (n>6) preferir cálculo simbólico si la expresión lo permite; si no, usar diferencias finitas con aritmética extendida. Monitorizar condición numérica: funciones con cancelaciones y valores grandes en coeficientes factoriales requieren normalización. El coste simbólico crece combinatoriamente con n debido a Bell polynomials en Faà di Bruno; se optimiza mediante memoización y factorización. Para cálculo numérico usar plantillas de coeficientes precomputadas y resolución por convolución para mejorar eficiencia. Elementos clave: entrada textual con autodetección de variables, selector de orden, opciones de método (simbólico/numérico), y visualización paso a paso. Salida: fórmula simplificada, pasos intermedios, evaluación numérica con tolerancias, y enlace a referencias y documentación técnica. Contraste de colores, etiquetas ARIA y estructuración semántica para mejorar accesibilidad en lectores de pantalla. Fuentes y lecturas recomendadas para profundizar en teoría y metodologías numéricas:
- Apostol, Tom M., "Calculus" — fundamentos de análisis y derivación.
- Whittaker, E. T. & Watson, G. N., "A Course of Modern Analysis" — Faà di Bruno y expansión de series. Recursos en línea de autoridad: Normativas y recomendaciones: usar IEEE 754 para representación en coma flotante; cumplir con WCAG 2.1 para accesibilidad web. Soporte para derivadas fraccionarias (calculo de orden real) mediante definiciones de Riemann-Liouville o Caputo como funcionalidad adicional. Implementar análisis de singularidades, series de Taylor hasta orden N y estimación de término remainder para aproximaciones locales. Definición (Riemann-Liouville): D^{\alpha} f(x) = (1/\Gamma(n-\alpha)) d^n/dx^n ∫_{a}^{x} (x-t)^{n-\alpha-1} f(t) dt, con n-1<\u03b1 Variables: \u03b1 orden real, \u0393 función Gamma. Valores típicos: \u03b1∈(0,1) para derivada fraccionaria simple; requiere integración numérica y derivación numérica combinada. Registrar la configuración: método, h, tolerancia y versión del motor simbólico/numerico para reproducibilidad. Para desarrollo: usar motores simbólicos como SymPy o equivalentes y bibliotecas numéricas de alto rendimiento (BLAS/LAPACK) para manejo matricial. Para web: usar frameworks que permitan renderizado accesible y pruebas unitarias de reglas de derivación y estabilidad numérica. Derivadas de órdenes bajos de funciones compuestas y productos, listadas para referencia rápida y optimización del parser. Incluye reglas de derivación para arctan, arcsin, funciones hiperbólicas y relaciones recursivas para derivadas de tan y sec. Si desea, puedo proporcionar plantillas de interfaz, código de algoritmo simbólico paso a paso, o versiones adaptadas para cálculo en sistemas embebidos o GPU.Exponencial y multiplicación por constante
Regla de la cadena para derivadas de orden n (Faà di Bruno)
Faà di Bruno: términos explícitos para n=1..4
Regla del producto para derivadas de orden n (Leibniz)
Diferencias finitas para derivada numérica de orden n
Regla de Richardson para mejorar precisión
Explicación de variables y valores típicos
Implementación algorítmica y flujo de cálculo
Detección de casos exactos
Precisión y control de errores
Ejemplos del mundo real — Caso 1: dinámica y aceleración jerárquica
Desarrollo
Interpretación física
Ejemplos del mundo real — Caso 2: señal modulada y Faà di Bruno
Desarrollo simbólico
Prácticas recomendadas de uso y consideraciones numéricas
Rendimiento y escalabilidad
Accesibilidad y UX de la interfaz
Presentación de resultados
Referencias, normas y enlaces de autoridad
Extensiones y funcionalidades avanzadas
Derivadas fraccionarias — nota técnica
Checklist para validar resultados
Recursos de implementación y bibliotecas recomendadas
Apéndice: fórmulas útiles adicionales