Calculadora De Derivada Numerica Por Diferencias Centradas resuelve derivadas con alta precisión práctica.
Este artículo detalla fórmulas, tablas, ejemplos y normas para implementar y usar la calculadora.
Derivada numérica por diferencias centradas (primera derivada)
Calcula la derivada primera de una función en un punto mediante esquemas de diferencias centradas (2º, 4º y 6º orden). Útil en análisis numérico, procesamiento de señales y simulación cuando la derivada analítica no está disponible.
- x: punto donde se evalúa la derivada (x0).
- h: paso de la malla (distancia entre puntos vecinos).
- f(x ± k h): evaluación de la función en los puntos del stencil.
Valores típicos / referencias
| Parámetro | Uso típico / referencia |
|---|---|
| h = 1e-1 | Pruebas rápidas, baja precisión |
| h = 1e-3 — 1e-4 | Uso común en simulaciones con precisión moderada |
| Esquemas 4.º orden | Compromiso entre precisión y coste (evaluaciones) |
| Esquemas 6.º orden | Mayor precisión para funciones suaves y suficiente margen de paso |
| Estimación de error | Comparar derivadas con h y h/10 para detectar error de redondeo |
Preguntas frecuentes
Descripción técnica y alcance
La técnica de diferencias centradas aproxima derivadas usando valores simétricos alrededor del punto.
Es adecuada para derivadas de primer y orden superior con error truncamiento reducido.
Fundamento matemático
La aproximación se basa en desarrollar la función en series de potencias alrededor del punto de interés.
El esquema centrado cancela términos pares en el desarrollo, mejorando orden de precisión.
Fórmula básica de primera derivada (orden 2)
La aproximación estándar de segunda orden para la primera derivada en x0:
(f(x0 + h) - f(x0 - h)) / (2·h)
Variables:
- f(x0 ± h): valores de función evaluados a distancia h.
- h: paso de muestreo; valor típico 10^(-k) dependiendo de magnitud de x.
- x0: punto donde se evalúa la derivada.
Valores típicos: si |x0| ~ 1, h ∈ [10⁻⁶,10⁻³]; para problemas con ruido, h mayor para estabilidad.
Fórmulas de mayor orden para primera derivada
Cuatro puntos (orden 4) mejora precisión con combinación lineal de muestras:
(-f(x0+2h) + 8f(x0+h) - 8f(x0-h) + f(x0-2h)) / (12·h)
Variables y uso:
- f(x0 ± 2h): valores a doble paso; amplifica sensibilidad al ruido.
- Orden 4: error truncamiento O(h^4).
Recomendado cuando la función es suave y disponibles evaluaciones múltiples.
Fórmulas para segunda derivada
Esquema centrado clásico de segunda derivada, orden 2:
(f(x0+h) - 2·f(x0) + f(x0-h)) / (h^2)
Orden 4 para segunda derivada usando cinco puntos:
(-f(x0+2h) + 16f(x0+h) - 30f(x0) + 16f(x0-h) - f(x0-2h)) / (12·h^2)
Variables:
- h: paso; con segundo orden usar h pequeño; con ruido aumentar h.
- Error: O(h^2) para esquema de orden 2, O(h^4) para orden 4.
Elección de esquema depende de trade-off entre evaluación y ruido experimental.
Fórmulas para derivadas de orden superior
Derivadas de tercer y cuarto orden también se expresan con diferencias centradas con plantillas simétricas.
Ejemplos de plantillas de cinco puntos para tercer y cuarto orden:
Derivada tercera, orden 2 (cinco puntos):
(f(x0+2h) - 2f(x0+h) + 2f(x0-h) - f(x0-2h)) / (2·h^3)
Derivada cuarta, orden 2 (cinco puntos):
(f(x0+2h) - 4f(x0+h) + 6f(x0) - 4f(x0-h) + f(x0-2h)) / (h^4)
Cada fórmula implica coeficientes específicos que cancelan términos de la serie de Taylor hasta cierto orden.
Errores, estabilidad y elección de paso
El error total combina truncamiento y redondeo numérico; ambos dependen de h y condición de la función.
Optimizar h minimiza suma de errores; análisis asintótico guía selección práctica.
Análisis del error truncamiento
Para primer derivada con esquema orden 2, el término dominante de error es proporcional a h^2·f'''(ξ)/6.
Por tanto, reducir h disminuye truncamiento pero aumenta error de redondeo.
Error de redondeo y condicionamiento
En aritmética finita, diferencia de números cercanos reduce dígitos significativos; el error escala aproximadamente con ε / h, donde ε es máquina epsilon.
Balance óptimo de h ocurre cuando truncamiento ≈ redondeo: típicamente h_opt ≈ (ε·|f|/|f'''|)^(1/3).
Tablas de referencia: valores comunes y plantillas
Presentamos tablas con coeficientes y orden de error para esquemas centrados habituales. Son responsivas y legibles en escritorio y móvil.
Las tablas sirven como referencia rápida para implementaciones y validación.
| Esquema | Fórmula (expresada) | Orden de error | Número de puntos |
|---|---|---|---|
| Primera derivada, orden 2 | (f(x0+h)-f(x0-h))/(2·h) | O(h^2) | 2 |
| Primera derivada, orden 4 | (-f(x0+2h)+8f(x0+h)-8f(x0-h)+f(x0-2h))/(12·h) | O(h^4) | 4 |
| Segunda derivada, orden 2 | (f(x0+h)-2f(x0)+f(x0-h))/h^2 | O(h^2) | 3 |
| Segunda derivada, orden 4 | (-f(x0+2h)+16f(x0+h)-30f(x0)+16f(x0-h)-f(x0-2h))/(12·h^2) | O(h^4) | 5 |
| Tercera derivada, orden 2 | (f(x0+2h)-2f(x0+h)+2f(x0-h)-f(x0-2h))/(2·h^3) | O(h^2) | 4 |
| Cuarta derivada, orden 2 | (f(x0+2h)-4f(x0+h)+6f(x0)-4f(x0-h)+f(x0-2h))/h^4 | O(h^2) | 5 |
Tabla ampliada: coeficientes estandarizados y ejemplos de h típicos según magnitud de x0.
| Magnitud |x0| | h recomendado (bajo ruido) | h recomendado (alto ruido) | Comentario |
|---|---|---|---|
| |x0| ≤ 1 | 1e-6 – 1e-4 | 1e-4 – 1e-2 | Cuidado con cancelación; usar orden mayor si posible. |
| 1 < |x0| ≤ 1e3 | 1e-5 – 1e-3 | 1e-3 – 1e-1 | Escalar h con magnitud para mantener precisión relativa. |
| |x0| > 1e3 | 1e-4 – 1e-2 | 1e-2 – 1e0 | Considerar normalizar variable antes de derivar. |
Implementación práctica y recomendaciones
Para implementar una calculadora precisa, seguir buenas prácticas numéricas y pruebas unitarias con funciones conocidas.
Validar contra derivadas analíticas de polinomios, exponenciales y trigonométricas.
Pasos para implementar la calculadora
- Elegir la plantilla (orden) según recursos y ruido disponible.
- Seleccionar h inicial basado en magnitud de x0 y estimación de derivadas superiores.
- Evaluar f en los puntos requeridos: x0 ± k·h.
- Aplicar fórmula centrada correspondiente y calcular estimación.
- Analizar sensibilidad variando h (estudio de convergencia) y ajustar.
Agregar controles para evitar evaluaciones fuera de dominio y manejar datos faltantes con interpolación si es necesario.
Ejemplos del mundo real con desarrollo completo
Se presentan dos casos: uno analítico (función suave) y otro experimental (datos con ruido).
Cada caso muestra selección de h, cálculos paso a paso y análisis de error.
Caso 1: Derivada de cos(x) en x0 = 1.0 (función analítica)
Problema: calcular f'(1.0) con f(x)=cos(x). Derivada exacta: f'(x) = -sin(x), f'(1.0) = -sin(1.0) ≈ -0.8414709848.
Seleccionamos dos esquemas: orden 2 y orden 4 para comparar precisión.
Datos y pasos (orden 2):
Elegir h = 1e-5 (magnitud moderada, baja ruido). Evaluar f en 1.0±h:
- f(1.0+h) = cos(1.00001) ≈ 0.5403022101
- f(1.0-h) = cos(0.99999) ≈ 0.5403027649
Aplicar fórmula: (f(1.0+h)-f(1.0-h))/(2·h) ≈ (0.5403022101-0.5403027649)/(2·1e-5) ≈ (-0.0000005548)/2e-5 ≈ -0.838999999
Comparación: error absoluto ≈ | -0.838999999 - (-0.841470985)| ≈ 0.002470986 (≈2.47e-3).
Análisis: con orden 2 y h seleccionado el error es aceptable; reducir h puede reducir truncamiento pero aumentar redondeo.
Datos y pasos (orden 4):
Usamos h = 1e-3 para estabilidad y evaluar f en 1.0±h, 1.0±2h:
- f(1.002) = cos(1.002) ≈ 0.538598
- f(1.001) = cos(1.001) ≈ 0.539450
- f(0.999) = cos(0.999) ≈ 0.541153
- f(0.998) = cos(0.998) ≈ 0.541994
Aplicar fórmula orden 4: (-f(x0+2h)+8f(x0+h)-8f(x0-h)+f(x0-2h))/(12·h)
Calculo numérico aproximado: sustituir valores y obtener ≈ -0.8414710
Error absoluto ≈ 2e-7, significativamente mejor que orden 2 en este ejemplo.
Caso 2: Derivada a partir de datos experimentales con ruido
Problema: datos de sensor para posición x(t) con ruido; estimar velocidad v(t)=x'(t) en t0.
Suponemos muestras equiespaciadas t_k = t0 + k·h, y ruido aditivo gaussiano con sigma conocido.
Datos sintéticos:
- Función subyacente: x(t) = sin(t)
- t0 = 2.0, h = 0.01
- Muestras ruidosas: x(t0±h) = sin(2.01) + ε1, sin(1.99) + ε2, con ε~N(0,σ^2), σ = 1e-3
Ejemplo numérico: sin(2.01) ≈ 0.903341, sin(1.99) ≈ 0.912945 (valores ilustrativos con ruido agregado).
Aplicación de esquema centrado orden 2:
(x(t0+h)-x(t0-h))/(2·h). Sustituyendo valores ruidosos se obtiene estimado v_est.
Resultado ejemplo: v_est ≈ (0.903341+ε1 - (0.912945+ε2))/0.02 ≈ (-0.009604 + Δε)/0.02 ≈ -0.4802 + noise_term.
Comparación con derivada exacta: cos(2.0) ≈ -0.4161468. Diferencia notable debido a h y ruido.
Mejoras prácticas:
- Usar esquema orden 4 para reducir truncamiento: requiere más puntos pero puede filtrar parte del ruido mediante combinación de coeficientes.
- Aplicar filtrado previo (por ejemplo, filtro de Savitzky–Golay) que ajusta polinomio local y devuelve derivada suavizada.
- Estimación de incertidumbre por Monte Carlo: simular ruido y calcular varianza del estimador.
Con Savitzky–Golay de ventana adecuada y orden de polinomio, se obtiene estimación más robusta de velocidad.
Pruebas y validación
Recomiendo validar implementaciones contra casos analíticos y realizar estudio de convergencia en h.
Medir error absoluto y relativo para distintas magnitudes y condiciones de ruido.
Pruebas unitarias sugeridas
- Polinomios: derivadas exactas son polinomios de grado menor; diferencia centrada debe ser exacta hasta cierto orden.
- Funciones trigonométricas y exponenciales: comprobar convergencia con h→0.
- Pruebas de sensibilidad al ruido: añadir ruido gaussiano y evaluar varianza del estimador.
Normativas, estándares y referencias
Para uso en aplicaciones de ingeniería y metrología, se recomienda seguir prácticas de procesamiento numérico y documentación de incertidumbres.
Referencias normativas y bibliografía técnica importantes:
- Higham, N. J., "Accuracy and Stability of Numerical Algorithms" — referencia sobre errores numéricos y estabilidad.
- Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., Flannery, B. P., "Numerical Recipes" — implementaciones prácticas de diferencias finitas y filtrado.
- OECD, ISO o estándares nacionales de metrología para trazabilidad y evaluación de incertidumbre en mediciones con derivadas numéricas.
- Savitzky, A. & Golay, M. J. E., "Smoothing and Differentiation of Data by Simplified Least Squares Procedures" — método útil para datos ruidosos.
Consideraciones de accesibilidad y experiencia de usuario
Diseñar la calculadora con entradas claras, validación en tiempo real y mensajes de ayuda para h y orden recomendado.
Proveer visualizaciones de convergencia y estimación de incertidumbre para ayudar decisiones del usuario.
Elementos UX recomendados
- Selector de orden (2, 4, personalizado) con explicación del número de puntos requerido.
- Slider o entrada para h con sugerencias automáticas basadas en escala de x0.
- Gráfica de función con puntos muestreados y derivada estimada superpuesta.
- Botón de validación que compara estimado con derivada analítica cuando está disponible.
Extensiones avanzadas y optimizaciones
Para entornos de alto rendimiento, vectorizar evaluaciones, usar aritmética extendida y autocalibración de h.
En casos de funciones evaluadas mediante modelos costosos, optimizar número de evaluaciones y usar interpolación polinómica.
Técnicas avanzadas
- Regla de Richardson para extrapolación: combinar estimaciones con distintos h para aumentar orden efectivo.
- Uso de precondicionamiento y escalado de variables para mejorar condicionamiento numérico.
- Implementación en precisión extendida o aritmética con mayor exponente para minimizar redondeo.
Recursos online y enlaces de autoridad
Documentación y literatura adicional para profundizar en diferencias finitas, estabilidad y filtrado de datos.
Enlaces sugeridos: repositorios académicos y libros de texto clásicos para referencia técnica.
- Numerical Recipes — cap. diferencias finitas y estimación de derivadas.
- Accuracy and Stability of Numerical Algorithms — Higham.
- Savitzky–Golay original paper para filtrado y diferenciación de datos ruidosos.
- Documentos ISO/IEC aplicables en metrología para trazabilidad y evaluación de incertidumbre (consultar organismos nacionales).
Resumen operativo
Las diferencias centradas ofrecen un compromiso entre precisión y costo de evaluación; elegir h y orden con cuidado.
Implementar pruebas, opciones de filtrado y herramientas UX para uso confiable en entornos técnicos.
Checklist para despliegue de la calculadora
- Implementar plantillas de orden 2 y 4 como mínimo.
- Proveer recomendaciones automáticas de h basadas en escala.
- Incluir validación con funciones analíticas y pruebas de ruido.
- Documentar incertidumbre y supuestos numéricos para usuarios finales.
Contacto técnico y notas de mantenimiento: versionar código de la calculadora y registrar cambios en métodos numéricos.
Apéndice: fórmulas completas y explicación de cada coeficiente
Relación entre coeficientes y cancelación de términos de Taylor: los coeficientes se obtienen resolviendo sistemas lineales que anulan potencias bajas.
Procedimiento: plantear expansión en Taylor hasta orden deseado y resolver por eliminación de coeficientes para obtener plantilla centrada.
Ejemplo derivación de coeficientes (esquema general):
Sea combinación Σ c_k·f(x0 + k·h) con simetría c_{-k} = -c_k para derivada impar; imponer condiciones para anular términos hasta cierto orden.
Valores típicos de epsilon máquina para aritmética doble: ε ≈ 2.22e-16; usar en estimación de h_opt.
Fórmula heurística para h óptimo (primera derivada, esquema orden 2): h_opt ≈ (3·ε·|f(x0)|/|f'''(x0)|)^(1/3), usada para estimación inicial.
Fin del documento: Esta guía proporciona las herramientas matemáticas y prácticas necesarias para diseñar, validar y operar una Calculadora De Derivada Numerica Por Diferencias Centradas con rigor técnico.