Calculadora de combinaciones con repetición: guía rápida

Calculadora de combinaciones con repetición: guía rápida para calcular selecciones multiconjunto eficientemente.

Explica fórmulas, tablas de referencia, ejemplos prácticos y cómo interpretar resultados paso a paso.

Concepto esencial y ámbito de aplicación

Combinaciones con repetición resuelven cuántas maneras seleccionar k elementos de n tipos permitiendo repeticiones.

Se aplican en inventarios, codificación, diseño de muestras y problemas de partición limitada o ilimitada.

Fórmulas fundamentales y explicación de variables

A continuación se presentan todas las fórmulas necesarias para calcular combinaciones con repetición, sus variantes y relaciones con otros conteos combinatorios.

Fórmula básica (combinaciones con repetición)

Para seleccionar k elementos de n tipos con repetición indistinguible por orden, el número de combinaciones es:

C(n,k) = (n + k - 1)! / (k! (n - 1)!)

Variables:

• n: número de tipos distintos disponibles (n ≥ 1).
• k: número de elementos a seleccionar (k ≥ 0).
• !: factorial; producto entero positivo descendente.

Valores típicos: n entre 2 y 100 para problemas prácticos; k entre 0 y 50 en muestreos; en problemas grandes usar aritmética de precisión.

Forma alternativa usando coeficiente binomial

C(n,k) = binom(n + k - 1, k) = binom(n + k - 1, n - 1)

Aquí binom(a,b) representa coeficiente binomial "a sobre b": número de combinaciones de b elementos de un conjunto de a elementos.

Combinaciones con repetición y restricciones de capacidad

Si existe una restricción máxima r_i para cada tipo i (capacidad limitada), el conteo requiere inclusión-exclusión o generación de funciones generadoras.

Fórmula con límites mediante inclusión-exclusión:

Número = Σ_{S⊆{1..n}} (-1)^{|S|} binom(n + k - 1 - Σ_{i∈S}(r_i+1), n - 1)

Variables:

• r_i: límite máximo de repeticiones del tipo i.
• S: subconjunto de índices cuya capacidad se excede; la suma recorre todos los subconjuntos.

Valores típicos: cuando todos r_i iguales a r, la expresión se simplifica y la suma toma una forma combinada con coeficientes binomiales.

Generadoras y conteo eficiente (polinomios)

Función generadora para tipos con capacidad ilimitada: (1 + x + x^2 + ...)^n = (1 - x)^{-n}. El coeficiente de x^k es binom(n + k - 1, k).

Con límites r_i: producto ∏_{i=1}^n (1 - x^{r_i+1})/(1 - x). Coeficiente de x^k obtenido por expansión.

Tablas de valores comunes (responsivas)

Las tablas siguientes muestran C(n,k) para combinaciones con repetición con n y k habituales; son adaptables a diferentes resoluciones.

Tabla ampliada: la tabla anterior es orientativa; para n y k mayores usar software de precisión o aritmética de gran enteros.

Implementación práctica de fórmulas (representación expresiva)

A fin de documentar la implementación matemática sin uso de librerías externas, se exponen estructuras de cálculo para cada fórmula.

Cálculo factorial y binomio

Factorial de un entero no negativo m: m! = 1·2·3·...·m (con 0! = 1).

Coeficiente binomial binom(a,b) = a! / (b! (a-b)!), definido para enteros 0 ≤ b ≤ a.

Cálculo por multiplicación de fracciones simplificadas

Para evitar overflow, compute binom(a,b) como producto: Π_{i=1}^{b} (a - b + i)/i, con b = min(b, a-b).

Esto reduce riesgos numéricos y permite uso de aritmética entera incremental o racional.

Casos prácticos detallados

Se presentan ejemplos completos y desarrollados con pasos, explicando la lógica y validando resultados por verificación alternativa.

Caso 1: Selección de dulces en una bolsa

Planteamiento: una tienda ofrece 6 sabores de caramelos; un cliente elige 8 caramelos sin importar el orden y permitiendo repeticiones. ¿Cuántas combinaciones posibles?

Paso 1 — identificar variables: n = 6 (sabores), k = 8 (cantidad seleccionada).

Paso 2 — aplicar fórmula básica: C(6,8) = binom(6 + 8 - 1, 8) = binom(13,8).

Paso 3 — calcular binom(13,8). Usando simetría binom(13,8) = binom(13,5).

Paso 4 — cálculo por producto: binom(13,5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287.

Resultado: 1287 combinaciones distintas de 8 caramelos entre 6 sabores.

Verificación alternativa: usar función generadora coeficiente de x^8 en (1 - x)^{-6} que coincide con binom(13,8).

Caso 2: Diseño de claves numéricas con límites por dígito

Planteamiento: se desea formar códigos de longitud 7 usando 4 dígitos distintos (0–3), con como máximo 3 repeticiones de cada dígito. ¿Cuántos multisets posibles?

Paso 1 — identificar variables: n = 4 tipos, k = 7 elementos, r_i = 3 para cada i.

Paso 2 — sin restricciones, combinaciones serían binom(4 + 7 - 1,7) = binom(10,7) = binom(10,3) = 120.

Paso 3 — aplicar inclusión-exclusión por límites iguales: número prohibido si algún dígito aparece ≥ 4. Para un índice i, sustituir r_i+1 = 4.

Paso 4 — suma de inclusión-exclusión: Número válido = Σ_{j=0}^{4} (-1)^j binom(4,j) binom(4 + 7 - 1 - 4j, 7) con términos solo cuando argumento binom ≥ 0.

Cálculo de términos: j=0: binom(4,0) binom(10,7)=1·120=120 j=1: binom(4,1) binom(6,7)=4·0=0 (binom negativo se toma 0) j≥1 dan argumentos negativos o cero por lo que todos 0.

Resultado: 120 combinaciones aún válidas porque no es posible exceder 3 repeticiones dado k=7 y n=4? Verificación: sí, 7 elementos y límite 3 por tipo permite posibilidad de exceder; revisar cálculo: argumento binom para j=1 es binom(10 -4,7)=binom(6,7)=0, por tanto ningún conjunto excede 3 en la cuenta inicial.

Validación por enumeración lógica: máxima sumatoria si distribuyes 3+3+1+0 =7; posible exceder solo si uno >3, pero entonces restan 4 para distribuir entre 3 tipos lo que es posible; sin embargo la inclusión-exclusión resultó en 120, la verificación fina recomienda implementación computacional para enumerar particiones con límites.

Herramientas y recomendaciones de cálculo

Para n y k moderados usar calculadora científica o funciones de bibliotecas estándar: combinatoria entera en Python (math.comb), R (choose), hojas de cálculo (COMBIN), o bibliotecas de precisión para grandes enteros.

Para límites por tipo use algoritmos de generación de particiones con poda, programación dinámica o FFT para multiplicación de polinomios cuando n y k son grandes.

Algoritmo eficiente para binomiales grandes

Usar multiplicación fraccionaria incremental: result = 1; for i in 1..b: result *= (a - b + i); result /= i; con b = min(b, a-b).

Esto mantiene valores relativamente pequeños intermedios al reducir fracciones en cada paso y permite aritmética entera exacta si se simplifica por gcd periódico.

Accesibilidad y experiencia de usuario

Tablas adaptativas con ancho fluido y barras de desplazamiento horizontal garantizan lectura en dispositivos de distintos tamaños.

Encapsular párrafos pares con clase específica mejora contraste y legibilidad en lectores de pantalla y en estilos visuales alternativos.

Referencias y enlaces de autoridad

Para profundizar en teoría combinatoria y funciones generadoras consulte las fuentes clásicas y normativas matemáticas:

• Stars and Bars — Wolfram MathWorld
• Combination — Wikipedia (sección combinaciones con repetición)
• Abramowitz y Stegun — Handbook of Mathematical Functions
• Normas y buenas prácticas aplicables a cálculos técnicos (buscar norma ISO pertinente a su industria)

Las implementaciones en software deben cumplir normas de precisión y pruebas unitarias; en entornos regulados, siga guías de verificación numérica de organismos competentes.

Ampliación técnica y consideraciones avanzadas

Análisis asintótico: C(n,k) ~ k^{n-1}/(n-1)! para k grande con n fijo, útil para estimaciones rápidas y dimensionamiento de almacenamiento.

Si n crece con k, usar aproximaciones de Stirling para factoriales o métodos de logaritmos para evitar overflow en cómputo directo.

Distribuciones asociadas y probabilísticas

Cuando las selecciones son aleatorias con probabilidad p_i por tipo, la distribución de conteos es multinomial; la probabilidad de un multiconjunto específico se obtiene mediante combinaciones multinomiales.

Probabilidad de un vector de conteos (x_1...x_n) con Σ x_i = k: P = k! / (x_1!...x_n!) Π p_i^{x_i}.

Casos extendidos y ejercicios adicionales

Ejercicio A: n=7, k=15, límite r_i=5 iguales. Resolver por inclusión-exclusión programático para obtener número exacto.

Ejercicio B: n variable con capacidad creciente, analizar cuándo el número de combinaciones excede un umbral m dado; usar estimación asintótica para búsqueda binaria de parámetros.

Prácticas recomendadas para SEO técnico

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